Определение.

Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и одна из них, например, , непрерывна и монотонна в указанной окрестности. Тогда в этой окрестности для функции существует обратная функция , а в некоторой окрестности точки имеет смысл суперпозиция , называемая параметрически заданной функцией.

Выведем формулу для дифференцирования параметрически заданной функции. В силу свойства инвариантности формы первого дифференциала будем иметь:

.

Пример 9. Найти производные следующих параметрически заданных функций: 1) ;

2) , .

1) Функция определена и непрерывна при , функция определена и непрерывна при , т.е. при . Производные этих функций, равные ,

обе определены и непрерывны, если , при этом . Следовательно, функция определена на промежутке . Её производная равна: .

2) Функции , определены и непрерывны на . Найдём их производные: ,

, .

Тогда .

Пример 10. Вывести формулу дифференцирования функции , заданной в полярных координатах.

Считая , будем рассматривать соотношения , как параметрические уравнения данной функции:

.

Для дифференциалов и имеем

, ,

откуда

.

Если ввести угол между касательной к кривой и продолжением радиус-вектора точки, то получим:

.

Пример 11. Найти , если: а) ; б) .

а) , , . Найдём , :

, . Тогда , .

б) , . Тогда:

.

Таким образом, для логарифмической спирали угол между касательной и радиусом-вектором точки касания является величиной постоянной и равен .

Пример 12. Написать уравнение касательной к кривой

, в точках: а) б) в) .

Производная равна: .

а) В точке , , поэтому уравнение касательной имеет вид: ;

б) При , , , откуда следует уравнение касательной: ;

в) Если , то и , и , а . Следовательно, при имеем следующее уравнение касательной: .