Определение касательной.

Если существует , то прямая , уравнение которой получается из уравнения секущей при , называется касательной к графику функции в точке .

Так как , то функция имеет касательную в точке тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке , при этом , где - угол, образованный касательной с положительным направлением оси .

Таким образом, уравнение касательной в точке имеет следующий вид: .

Если придать приращение , то ордината кривой получит приращение ( на рис.1), а ордината касательной получит приращение ( на рис.1).

Пример 7. В каких точках кривой касательная к ней а) параллельна оси ; б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

.

а) Для того чтобы касательная была параллельной оси , уравнение которой , необходимо, чтобы , т.е. . Таким образом, касательная параллельна оси в точке .

б) Биссектриса первого координатного угла имеет уравнение , тогда , .

Пример 8. Определить угол между левой и правой касательными к кривой в точке .

Так как при всех , то в точке производную следует искать по определению:

Тогда уравнения левой и правой касательных в точке будут иметь следующий вид: ; . Очевидно, угол между левой и правой касательными в точке равен .

Правило дифференцирования сложной функции и определение дифференциала приводят к важному свойству – инвариантности формы первого дифференциала.

Пусть даны функции и . Составим из них сложную функцию . Если производные и существуют, то по правилу дифференцирования композиции функций имеем

.

Так как , то для дифференциала получим выражение . Заменяя ее выражением, находим , так как . Таким образом, видно, что форма дифференциала сохраняется даже в том случае, когда аргументом является другая (дифференцируемая) функция. Это свойство и называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Возможность выразить производную через дифференциал, взятый по любой переменной, приводит к тому, что формулы для нахождения производной сложной и обратной функций

,

становятся обычными алгебраическими тождествами.