Определение дифференциала.

Дифференциалом дифференцируемой функции в точке , отвечающим приращению аргумента , называется главная часть приращения функции , линейная относительно приращения аргумента.

Для дифференциала принято обозначение:

.

Пример 1.Площадь P квадрата со стороной x равна . Если длину стороны увеличить на , то соответствующее приращение площади запишется так:

.

Отсюда заключаем, что главной частью при будет , а это и есть дифференциал dP. Геометрически он выражает удвоенную площадь прямоугольника со сторонами x и .

Пример 2.Объем шара радиуса r, равный , при увеличении радиуса на получает приращение

,

главной частью которого при будет . Это уже объем плоского слоя с площадью основания, равной площади поверхности шара и высотой .

Пример 3.Путь, проходимый материальной точкой, двигающейся равноускоренно, за время t, подсчитывается по формуле

,

где S₀ – начальное положение точки, - начальная скорость, a – ускорение. За время путь получит приращение:

.

При его главной частью будет . Видим, что дифференциал пути вычисляется как путь, пройденный точкой, которая в течение всего промежутка времени двигалась со скоростью .

Что касается самой независимой переменной x, то ее дифференциалом называют приращение , т.е. . Это равенство легко можно доказать:

.

Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

, .

Из последнего равенства следует, что производную можно трактовать как отношение дифференциалов; это отношение двух бесконечно малых величин и дает вполне определенное число , т.е. величины и изменяются пропорционально с коэффициентом, равным .

Понятие дифференциала может быть использовано как источник приближённых формул. Если достаточно мало, можно приближённо полагать: , причём это соотношение тем точнее, чем меньше .

Пример 4. Доказать, что для всех малых по сравнению с значений верна приближённая формула: , . С помощью этой формулы приближённо вычислить .

Рассмотрим функцию . Вычислим её дифференциал и используем приближённое равенство : .

Для вычисления положим , , (отметим, что ). Тогда согласно доказанной формуле получим: (получили 4 верных знака после запятой).

При нахождении дифференциалов будем пользоваться следующими правилами:

, , .

Пример 5. Найти , .

, .

Пример 6. Пусть , - дифференцируемые функции переменной . Найти , если а) ; б) .

а) , ;

б) , .

Дадим геометрическое истолкование понятиям производной и дифференциала. Пусть функция непрерывна на , а точка . Выберем так, чтобы , и через точки и проведём прямую, которая является секущей графика функции . Уравнение секущей: , где .