Упражнения для самостоятельной работы

Найти производные функций:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. , ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. , ; 26. ;

27. ; 28. ;

29. ; 30. ;

31. ; 32. ;

33. ; 34. ;

35. ;

36. , ;

37. ; 38 ;

39. ; 40. ;

41. ; 42. ; 43. ;

44. ; 45. ; 46. ;

47. , ;

48. ; 49. ; 50. .

Найти производную функции, введя промежуточную переменную:

51. ;

52. ; 53. ;

54. ;

55. ;

56. .

Используя логарифмирование, найти производные следующих функций:

57. ; 58. ; 59. ;

60. .

61.Показать, что функция имеет разрывную производную.

62.При каком условии функция

а) непрерывна при б) дифференцируема при в) имеет непрерывную производную при ?

63.Показать, что функция , где - непрерывная функция и , не имеет производной в точке .

64.Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

а) ; б) .

65.Для функции определить левую и правую производные, если: а) ; б) ; в) ;

г) ; д)

66.Найти и в точках разрыва функции , если:

а) ; б) ; в) .

67.Если функция дифференцируема в ограниченном интервале и , то обязательно ли: а) ;

б) ?

Рассмотреть пример: при .

68.Если функция дифференцируема в ограниченном интервале и , то обязательно ли ?

Рассмотреть пример: при .

69.Пусть функциядифференцируема в интервале и существует . Следует ли отсюда, что, существует ? Рассмотреть пример: .

70.Пусть ограниченная функциядифференцируема в интервале и существует . Следует ли отсюда, что, существует , конечный или бесконечный? Рассмотреть пример: .

71.Вывести формулы для сумм: и

. Указание: рассмотреть

.

72.Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций и найти их производные: а) ; б) .

Найти производные обратных функций в указанных точках:

73. 74.

75. 76.

77.

Найти производные обратных функций. Указать область их существования:

78. 79.

§2. Дифференциал функции

Пусть определена и непрерывна в некотором промежутке . Возьмем точку и придадим аргументу приращение такое, что . Этому приращению будет отвечать приращение функции - бесконечно малое, если бесконечно мало.

Поставим задачу: выделить главную часть бесконечно малой при . Если функция дифференцируема в точке :

, то при главной частью бесконечно малой является бесконечно малая .