Теорема.

Для того чтобы функция имела в точке производную , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке как левую, так и правую производные, и чтобы эти производные были равны: .

Пример 1. Исходя из определения производной, найдем производные ряда элементарных функций:

1) ; 2) , 3) 4) 5)

1) Пусть , где – любое действительное число. Придадим любой точке из приращение . Новое значение будет , а для приращения получим:

,

так что . Если воспользоваться значением предела , то для производной данной функции имеем значение:

.

Для частного случая найдём производную в точке : .

Видим, что предел этого отношения при будет равен . Если же , то , и в точке производная слева будет равна , а справа .

2) Рассмотрим показательную функцию . Составим отношение:

.

Так как , то . Если , то приходим к формуле:

.

3) Найдем производную логарифмической функции

.

Для отношения приращения функции к приращению аргумента будем иметь:

.

Используя значение предела , находим

,

при

.

4) Рассмотрим .

.

В силу первого замечательного предела находим, что производная функции равна .

5) Для функции получим:

, откуда переходя к пределу при и вновь учитывая первый замечательный предел, имеем:

.

Пример 2. Исходя из определения производной, покажем, что производная чётной функции есть функция нечётная и наоборот. Пусть . Возьмем и составим предел отношения:

.

В данном равенстве заменим на :

При этом мы воспользовались чётностью функции . Тогда . Совершенно аналогично показывается, что производная нечётной функции есть функция чётная. Действительно,

В приведённых примерах для отыскания производной мы пользовались лишь определением. Однако нерационально и практически невозможно находить производную по определению в сложных случаях. Сформулируем основные правила, позволяющие вычислить производную суммы, разности, произведения, частного функций, а также производную суперпозиции функций.