Смешанное произведение в координатах

Если векторы имеют координаты:

, , ,

то смешанное произведение выражается в виде определителя третьего порядка

(21)

Вывод. Произведения векторов и их взаимное расположение в пространстве можно представить в виде структурной схемы 1

Приложение А

Произведение векторов и их взаимное расположение

Приложение Б

Приложения векторной алгебры к решению задач

Задача 1 Найти скалярное и векторное произведения векторов:

,

Решение

1 Из разложения векторов по ортам запишем их координаты:

2 По формуле (12) имеем: .

3 По формуле (16) находим векторное произведение:

Ответ: .

Задача 2 Даны векторы: . При каком значении эти векторы перпендикулярны?

Решение

Находим скалярное произведение этих векторов по формуле (12):

Так как , то по формуле (14) .

Отсюда:

Ответ: при .

Задача 3 Даны векторы: . При каких значениях эти векторы компланарны?

Решение

Из разложения вектора по ортам запишем его координаты: .

По формуле (20) найдём смешанное произведение:

Так как по условию вектора компланарны, то по признаку компланарности (17) , полученное квадратное уравнение почленно разделим на 2 и запишем в стандартном виде:

Решая квадратное уравнение, получим

Ответ: при и .

Задача 4 Заданы четыре точки: , определяющие треугольную пирамиду . Найти:

- длину медианы боковой грани ;

- угол между ребрами и ;

- площадь основания ;

- объём пирамиды;

- длину высоты пирамиды

Для решения задачи выполним схематичный чертёж (рис. 7).

Рис. 7

Решение

Найдём координаты векторов по формуле (1):

Проведём в боковой стороне грани медиану , точка по свойству медианы делит отрезок пополам.

По формулам (8) найдём координаты середины отрезка:

Найдём длину вектора по формуле (3).

По формуле (11) .

.

Для вычисления площади основания пирамиды воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, тогда:

Найдём по формуле (16):

(кв. ед.).

Для вычисления объёма пирамиды воспользуемся выражением геометрического смысла смешанного произведения:

Найдём ( ) по формуле (20):

(куб. ед.)

Найдем длину высоты пирамиды -

Из элементарной геометрии, знаем

Задача 5Упростите выражение

Для упрощения выражения воспользуемся распределительным законом векторного произведения и векторным произведением орт (таблица 1).