Решение.

а) ;

б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами и . Имеем , , , ,

;

в) , , ,

,

отсюда находим

;

г) .

Направляющими косинусами вектора являются 2/3, –2/3, –1/3.

Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов а и b называется вектор c, удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1) , где j – угол между векторами а и b;

2) с перпендикулярен каждому из векторов а и b;

3) а, b, с образуют правую тройку.

Векторное произведение принято также обозначать .

Теорема 5. a) равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и b; б) а ´b = – b ´ a; в) а ´ (b + c) = а ´ b + + а ´ c; г) (l а) ´ b = l(а ´ b).

Теорема 6. Если , , то ,

или, в символической записи,

.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов а, b, с называется число (a´ b) с; смешанное произведение векторов а, b, с обозначается(а, b, с).

Теорема 7.а) а, b, с компланарны в том и только в том случае, если (а, b, с) = 0;

б) для некомпланарной тройки векторов а, b, с (а, b, с) > 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют правую тройку, и (а, b, с) < 0 в том и только в том случае, если а, b, с образуют левую тройку;

в) |(а, b, с)| равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с;

г) (а, b, с) = (b, c, a) = (c, a, b) = –(b, a, с) = –(а, c, b) = –(c, b, a).

Теорема 8. Если , , , то

.

Пример 3. Даны точки A(4;–1;3), B(0;1;2), C(3;–2;5), D(1;–1;1). Найти: а) площадь треугольника АВС; б) высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС;

в) объём пирамиды АВСD.

Решение. а) Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма S, построенного на векторах и , т.е. . Имеем , ,

;

б) ; , ; .

в) Объём пирамиды АВСD равен объёма параллелепипеда, построенного на векторах . Имеем , , ;

.

2. Прямая на плоскости

Прямая на плоскости, в которой определена прямоугольная система координат, может быть задана следующими уравнениями:

Ax + By + C = 0 – общее уравнение;

y = kx + b – уравнение с угловым коэффициентом ( k – угловой коэффициент – есть тангенс угла наклона прямой к оси 0x );

– каноническое уравнение (прямая проходит через точку M(x₀; y₀) параллельно вектору – направляющему вектору прямой);

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 – уравнение прямой, проходящей через точку M(x₀; y₀) перпендикулярно вектору – нормали прямой;

– уравнение прямой, проходящей через точки
M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; y₂).

Уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку
(a; 0) , имеет вид x = a.

Пример 4. Составить уравнения прямых: а) AB; б) BC; в) CD.

Решение. а) АВ параллельна 0y, поэтому её уравнением будет x = 1.

б) составим уравнение ВС как прямой, проходящей через точки B(1; 3), C(5; 1):

; .

в) Прямая СD параллельна 0x , поэтому уравнением СD является y = 1.

3. Полярная система координат

Полярная система координат определяется заданием точки 0, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча 0А, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длины.

Каждой точке М на плоскости ставятся в соответствие два числа: – полярный радиус и j – полярный угол, на который нужно повернуть полярную ось для совмещения с вектором ; при этом вращение против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным. Если точка М совпадает с полюсом 0, то полярный угол не определён.

Полярный угол j определяется с точностью до . Принято договариваться о главных значениях полярного угла; обычно таковыми считаются углы в пределах или .

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат на плоскости, начало которой совпадает с полюсом 0, а положительная

полуось 0x – с полярной осью (в этом случае говорят, что декартова прямоугольная система координат согласована с полярной системой координат). Тогда декартовы прямоугольные (x; y) и полярные (r; j) координаты точки М связаны соотношениями

Это есть формулы перехода от полярных координат к декартовым.

Пример 5. Найти полярные координаты точки М, если в согласованной декартовой прямоугольной системе координат она имеет координаты , .

Решение. ;

.

Пример 6. Составить полярные уравнения:

а) прямой ; б) параболы y = 2x².

Решение. Имеем x = r cosj, y = r sinj. Поэтому

а) ; – уравнения прямой

.

б) r sinj = 2 r² cos²j, – уравнения параболы y = 2x² .

4. Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость (P) в пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат может быть задана одним из следующих уравнений:

1) Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости;

2) A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 – уравнение плоскости (P), проходящей через точку M(x₀; y₀; z₀) и перпендикулярной вектору – вектору нормали к (P) ( вектором нормали к плоскости (P) называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (P));

3) – уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c –направленные отрезки, отсекаемые плоскостью на осях 0x, 0y, и 0z соответственно;

4) – нормированное (или нормальное) уравнение плоскости (P), где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора нормали n к (P), направленного из начала координат в сторону плоскости (P), r – расстояние от начала координат до плоскости (P);

5) – уравнение плоскости,

проходящей через три точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), не лежащие на одной прямой.

Расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости (P), заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, находится по формуле

.

Две различные плоскости (P₁): и (P₂): параллельны в том и только в том случае, если .

Угол j между плоскостями (P₁): и (P₂): есть угол между нормалями и (с поправкой на направление, если угол тупой) к этим плоскостям:

.

Эти плоскости: а) параллельны в том и только в том случае, если и коллинеарны; б) перпендикулярны в том и только в том случае, если .

Прямая (L) в пространстве с заданной прямоугольной системой координат может быть задана:

1) каноническими уравнениями ; при этом (L) проходит через точку M₀(x₀; y₀; z₀) и параллельна направляющему вектору прямой ;

2) параметрическими уравнениями

,

заданные числа x₀, y₀, z₀, l, m, n имеют тот же смысл, что и в канонических уравнениях;

3) общим уравнением

где ранг матрицы равен 2, при этом (L) есть прямая пересечения плоскостей

(P₁): , (P₂): .

Угол j между прямыми (L₁) и (L₂) есть угол между направляющими векторами и (с поправкой на направление, если угол между ними тупой):

.

Угол y между прямой (L): и плоскостью (P): определяется по формуле

.

Пример 7. Даны плоскость (P): , прямая (L): и точка M(–4; 1; 7): а) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и параллельной (P); б) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М и параллельной (L); в) составить уравнение плоскости, проходящей через

точку М и перпендикулярной (L); г) составить уравнение прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной (P¢);

д) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и прямую(L); е) составить уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскостям (P¢): x – 3y – z + 2 = 0 и

(P¢¢): 4x + 2y – 5z + 7 = 0; ж) найти точку пересечения прямой (L) и плоскости (P); з) найти расстояние от точки М до плоскости (P) .

Решение.а) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P₁) можно взять n {–2; 1; 3} – нормаль к (P). Поэтому уравнением (P₁) будет –2(x + 4) + 1 (y – 1) +3 (z – 7) = 0, или –2x + y + 3z – 30 = 0.

б) В качестве направляющего вектора искомой прямой (L₁) можно взять q{4; –6; 1} – направляющий вектор (L). Тогда уравнениями (L₁) будут .

в) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P₂) можно взять q {4; –6; 1} – направляющий вектор (L); и уравнением (P₂) будет 4(x + 4) – 6(y – 1) + 1 (z – 7) = 0 или 4x – 6y + z + 15 = 0 .

г) Направляющим вектором искомой прямой (L₂) можно взять

n { –2; 1; 3} – нормаль к (P) . Отсюда получаем уравнения (L₂):

.

д) Запишем уравнения (L) в параметрической форме:

,

Придав t два различных значения, скажем, t = 0 и t = 1, найдём две точки прямой (L):

M₁(5;–2;–1),

M₂(9;–8;0).

Точки M, M₁, и M₂ лежат в искомой плоскости (P₃). Составим уравнение (P₃) как уравнение плоскости, проходящей через эти три точки:

– 51(x + 4) – 41(y – 1) – 42(z – 7) = 0;

– 51x – 41y – 42z + 131 = 0.

Это и есть уравнение (P₃) .

е) В качестве вектора нормали к искомой плоскости (P₄) можно взять векторное произведение на – нормалей к плоскости (P’) и (P”):

.

Зная точку M(–4;1;7) , через которую проходит плоскость (P₄), и вектор нормали , составляем уравнение (P₄):

17(x + 4) + 1 (y – 1) + 14 (z – 7) = 0;

17x + y + 14z – 31 = 0.

ж) Запишем ещё раз уравнения (L) в параметрической форме:

, (1)

Подставим эти выражения в уравнение плоскости (P):

–2(4t + 5) + (–6t – 2) + 3(t – 1) – 1 = 0;

–11t = 16; .

Подставив найденное t в (1), находим координаты искомой точки:

,

Таким образом, точкой пересечения (L) и (P) является .

з) .

Пример 8. Составить канонические уравнения прямой (L), заданной в виде

(2)

Решение.Прямая (L) задана как пересечение плоскостей

(P₁):–3x + 2y – z + 1 = 0 и (P₂): x – 5y + 6z + 21 = 0. Векторы нормалей , перпендикулярны к (L). Поэтому в качестве направляющего вектора q прямой (L) можно взять векторное произведение :

= .

Для составления канонических уравнений прямой достаточно знать её направляющий вектор и точку, через которую проходит прямая. Найдём некоторую точку (L). Определитель отличен от нуля. Перепишем систему (2) в виде

Положим (можно было взять любое другое), получим систему

Эта система имеет решение x = 47/13, y = 64/13. Вспомнив, что z = 0, находим точку прямой (L): M(47/13; 64/13; 0). Составим уравнение прямой (L) по её направляющему вектору `q {7; 17; 13} и точке M(47/13; 64/13; 0), через которую она проходит: