Анализ характеристик нелинейных схем по постоянному току. Итерационные методы. Метод Ньютона.

Анализ характеристик по постоянному току схем, содержащих нелинейные сопротивления, сводится к решению нелинейных уравнений вида:

f(x)=0

Пусть функция y=f(x) в определенном интервале а ≤ X ≤ b определена и непрерывна.

Пусть далее, имеются два числа x1 и x2 такие, что а ≤ xl ≤ х2 ≤ b.

Если f(xl) и f(x2) имеют противоположные знаки, то между xl и x2 существует хотя бы один корень функции f(x).

Если не линейное уравнение f(x)=0 можно эквивалентным преобразованием многими способами привести к виду g(x)=h(x), то имеет смысл вычисления корня X_N, который заключается в построении сходящейся числовой последовательности по правилу g(x^m+1)=h(x^m) при заданном начальном приближенном значении Х;.

В следствии предложенной непрерывности предельное значение такой последовательности является корнем потому , что из соотношений в силу непрерывности g и h имеем g(a)=h(a), т.е. a=x_N.

Достаточные условия сходимости: g'(x) и h'(x) непрерывны в некоторой окрестности x_N; х⁽⁰⁾ лежит в этой окрестности | g'(x) | > | h'(х) |.

In x= х -2

1) приводим к виду

g(x)=h(x) g(x)=ln(x)

h(x)= x²-2

2) строим числовую последовательность по правилу

g(x^m+1)= h(x^m)

ln(x^m+1)=(x^m)²-2

3) при заданном Xi⁽⁰⁾ ≈ 0,15 полученном из пересечения этих функций, рассчитываем таблицу:

n	хш	ln(xm+1)=(xm)2-2
	0,138 ln(x1) 0,1379373 0,1379349 0,1379348	-1,980956 -1,9809733 -1,9809740 -1,9809740

Уже при m= 4, видно, что процесс достаточно хорошо сходится и можно за корень уравнения принять x_N=0,1379348.

(Производные g'(x)=l/x; h'(x)=2x; l/x=2x.)