Метод Ньютона.

(метод касательной).

Метод Ньютона предусматривает использование начального приближенного решения х⁽⁰⁾, проведение итерационной процедуры и если величина (X^k+1-X^k )/Х^k+1 - достаточно мала, констатацию факта сходимости. (k-количество итераций).

Другими словами решение нелинейных уравнений можно интерпретировать как повторное решение линейных на каждом этапе итерационного процесса.

Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 определен на отрезке [а,b], причем f'(х) и f ''(х) непрерывны и сохраняют определенные знаки при а ≤ х ≤ b.

Найдя какое-нибудь приближенное значение корня х_п ≈ (а ≤ x_n ≤ b) мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом:

Положим ξ = x_n+h_n (*),

где h_n - считается малой величиной.

Отсюда, применяя формулу Тейлора, получаем :

0=f(x_n+h_n) ≈ f(x_n)+h_nf'x_n)

Следовательно:

Внеся эту поправку в уравнение (*), найдем следующее (по порядку) приближение корня:

Выводы:

1) Итерационные методы дают приближенное (значение) решение, хотя и сколь близкое к точному.

2) Однако, реальные схемы имеют тот недостаток, что если 1-ое приближенное решение оказывается сравнительно далеким от истинного, то сходимости не будет.

3) Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. погрешность для (k+1) приближения убывает пропорционально квадрату погрешности для к приближения.

Возможны и другие методы решения нелинейных уравнений, в том числе при которых они заменяются подходящим линейным отображением с помощью аппроксимации (например, с использованием ортогональных полиномов Лежандра) или с помощью интерполяции (например, с использованием функций Лагранжа, Ньютона, Гаусса и др.) заменяются наилучшим приближением, которое решается известными численными методами.