Варіант № 5

1. Дати лінійне зображення НСД многочленів , .

2. Многочлен степеня 3 має корені , а при діленні на дає остачу 2. Знайти , якщо .

3. Чи існує в кільці нетривіальний ідеал, до якого належать многочлени , ?

4. Знайти суму коефіцієнтів та вільний член многочлена .

5. Знайти суму коефіцієнтів многочлена: f(x)= у кільці Z₇[x].

6. Довести, що многочлен f(x)=x⁶+x³+a не ділиться на многочлен g(x)=x³+x+a в кільці Q[x] при жодному значенні числа а.

7. Знайдіть значення многочлена і його похідних при x=a, користуючись схемою Горнера: f(x) = 2x³ – 2x² +x -1, a=2.

8. Відокремити кратні множники многочлена .

9. Використовуючи формулу інтерполяційного многочлена Лагранжа, побудувати многочлен найменшого степеня f(x)ÎQ[x] за такою таблицею значень:

10. Розкласти дріб на елементарні дроби над полем Р, якщо: = і P=С.

11. Виразити через елементарні симетричні многочлени:

f(x₁, x_2, x₃)=x₁⁴x₂² + x₂⁴x₁² + x₃⁴x₂² + x₃⁴x₁² + x₁⁴x₃² + x₂⁴x₃².

12. Обчислити результант R(f, g) для таких многочленів: f(x)=x³+2x-1, g(x)=x²-2x-3.

13. Розв’язати систему над полем R:

14. Розв’язати рівняння: .

15. Відокремити дійсні корені многочлена: .

16. Знайти значення симетричного многочлена від коренів рівняння .

17. Розкласти в добуток незвідних над множників многочлен .

18. Знищити ірраціональність в знаменнику виразу .

19. Знайти мінімальний многочлен для числа , якщо , де .