Варіант № 3

1. Дати лінійне представлення НСД многочленів , .

2. Чи належать многочлени , , до нетривіального ідеалу в кільці ?

3. Побудувати многочлен , якщо – його корені, а при діленні на отримуємо остачу 18.

4. Обчислити при значення многочлена і його похідних, де .

5. Знайти всі значення а, при яких наступний многочлен є квадратом деякого многочлена g(x) з того самого кільця, і записати g(x): f(x)=x⁴+6x³+11x²+ax+1 з кільця Z[x].

6. Знайти a i b, при яких многочлен f(x) ділиться на g(x) в R[x], якщо f(x) = x³ + ax + b, g(x) = x² + cx +1.

7. Знайдіть значення многочлена і його похідних при x=a, користуючись схемою Горнера: f(x) = x⁴ – 3ix³ +4x² +5ix -1, a=1+2i.

8. Відокремити кратні множники многочлена .

9. Використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона, побудувати многочлен найменшого степеня f(x)ÎQ[x] за такою таблицею значень: (Інтерполяційна формула Ньютона: f(x)=c₀+c₁(x-a₁)+…+c_n(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n), де коефіцієнти c₀, c₁, …,c_n визначаються послідовним підставленням значень x= a₁, x= a₂,…, x= a_n+1)

10. Розкласти дріб на елементарні дроби над полем Р, якщо: = і P=Z₅.

11. Виразити через елементарні симетричні многочлени: .

12. Розв’язати систему:

13. Розв’язати рівняння: .

14. При якому значенні l многочлен має кратні корені:

15. Відокремити дійсні корені многочлена: .

16. Дати канонічний розклад многочлена над полем та .

17. Дати канонічний розклад многочлена над полем .

18. Знайти степінь поля над полем і записати довільний елемент , якщо , де корінь многочлена , .

19. Знищити ірраціональність в знаменнику виразу .