Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число1является корнем многочлена.

Например, в многочлене 3 сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степеняхравна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число-1является корнем многочлена.Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а 0– четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент – коэффициент при – равен единице) справедлива формула Виета:

, где – корни многочлена .

Есть еще формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен .

Делители свободного члена: .

Сумма всех коэффициентов многочлена равна следовательно, число 1 не является корнем многочлена.

Сумма коэффициентов при четных степенях : -3-14=-17

Сумма коэффициентов при нечетных степенях : 2+5=7

, следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.

Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .