Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Определение:Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т. е. · ( ´ ) .

Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.

Теорема: Смешанное произведение векторов · ( ´ )равно объему параллелепипеда построенного на векторах , , , взятому со знаком « +», если тройка векторов , , – правая, и со знаком « – », если тройка , , – левая. Если же , , компланарны, то · ( ´ ) = 0. Другими словами:

· ( ´ )=

Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что .

По определению смешанного произведения: .

Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .Таким образом, при

Если же , то и

Следовательно, .Объединяя оба эти случая, получаем или .

Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .

Докажем второе утверждение. Пусть векторы , и компланарны. Если = 0, то, очевидно, · ( ´ ) = 0. Пусть ¹0. Тогда либо ´ = 0 ( если векторы и коллинеарны ), либо ( ´ ) ^ ( если и неколлинеарны). В любом случае · ( ´ ) = 0. g

Итак, доказано, что если векторы , и компланарны, то · ( ´ ) = 0. Верно и обратное: если · ( ´ ) = 0, то векторы , и компланарны. Действительно, если бы векторы , и были некомпланарны, то по теореме доказанной выше, смешанное произведение · ( ´ ) = V ¹ 0, что противоречит условию.

Следствие. Из теоремы легко выводится следующее тождество · ( ´ ) = · ( ´ ) (1) , т. е. знаки · и ´ в смешанном произведении можно менять местами. Действительно, согласно свойству (1) скалярного произведения ( ´ ) · = · ( ´ ) (2.) . Далее по теореме имеем · ( ´ ) = V, · ( ´ ) = V (3). Так как тройки ( , , ) и ( , , ) имеют одинаковую ориентацию, т. е. либо обе правые, либо обе левые, то на основании теоремы в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же знак. Таким образом, имеем · ( ´ )= · ( ´ ) и на основании равенства (2) · ( ´ ) = ( ´ ) · , т. е. получено тождество (1). В силу тождества (1) смешанные произведения · ( ´ ) и · ( ´ ) можно обозначить более простым символом · · .