Основные свойства векторного произведения

1. = 0, если и - коллинеарные векторы.

Доказательство. Если векторы и коллинеарны, то sin j= 0. Следовательно, | ´ | = | |·| | sin j = 0, т. е. длина вектора равна нулю, а значит, и сам вектор равен нулю. g

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов и равна площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах

Доказательство: Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда | |·| | sin j = S, т. е. | ´ | = S.

3. = – ´ (свойство антиперестановочности сомножителей).

4. (λ ) = λ ( ) (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).

5. ( + ) = + (свойство распределительности относительно суммы векторов).

6. = , если два ненулевых вектора коллинеарны и наооборот.

Замечание: Свойство (5) дает право при векторном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 3) – объединить числовые коэффициенты векторных множителей. Например,

(2 + 3 ) (4 + 5 ) = (2 + 3 ) 4 + (2 + 3 ) 5 = 2 4 + 3 4 + 2 5 + 3 5 = 8 ( ) + 12 ( ) + 10 ( ) + 15( + ).

Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно заменить, например,

( + + ) ( 2 + 3 )= 2( ) + 2( ) + 2( ) + 3( ) + 3( ) + 3( ) = 2( ) - 2( ) + 3( ) +3( ) = 2( ) + 3 ( ) ( ).

Замечание 2: Согласно определению и свойству 1 и 2 векторного произведения для базисных векторов , , получаем следующие равенства ´ = 0 ; ´ = ; ´ = - ; ´ = - ; ´ = 0 ; ´ = ;

´ = ; ´ = - ; ´ = 0.

4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема: Если векторы и заданы своими координатами: ={Х₁ ;У₁; Z₁ } и ={Х₂ ;У₂; Z₂ }, то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой

´ = { ( У₁ Z₂ – У₂ Z₁₎ ; (Х₂ Z₁ – Х₁Z₂) ; (Х₁ У₂ – Х₂ У₁ ) }.

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде

´ = ; ; .

С помощью определителя третьего порядка эту формулу можно записать так:

´ = = ( У₁ Z₂ - Z₁У₂) + (Х₂ Z₁ – Z₂ Х₁) +

+ (Х₁ У₂ – Х ₂ У₁) .

Доказательство: Разложим векторы и по базису ; ; ; = Х₁ + У₁ + Z₁ , = Х₂ + У₂ + Z₂ ,

´ = Х₁ Х₂ ( ´ ) + Х₁У₂ ( ´ ) +Х₁ Z₂ ( ´ ) + У₁ Х₂ ( ´ ) + У₁ У₂ ( ´ ) + У₁ Z₂ ( ´ ) + Z₁ Х₂ ( ´ ) + Z₁У₂ ( ´ ) + Z₁ Z₂ ( ´ ) . Отсюда на основании равенства ( 2 ), находим

´ = (У₁ Z₂ – У₂ Z₁) + (Х₂ Z₁ – Х₁Z ₂) + (Х₁ У₂ – Х₂ У₁) или

´ = + + .

Получено разложение вектора ´ по базису ; ; ; коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора ´ . Таким образом, ´ = {Х ;У ;Z } , где Х = , У = , Z = (3) . g

Пример: Даны векторы = {2 ;5 ;7 }, и = {1 ;2 ;4 }. Найти координаты векторного произведения ´ .

Решение: По формуле ( 3 ) находим Х = = 6; У = = - 1 ; Z = = – 1 .

Итак, ´ = {6;– 1 ; – 1}.

§ 5. Смешанное произведение векторов