Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось (прямая с выбранным на ней направлением ) и некоторый вектор . Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси U. Обозначим через А^/ и В^/ точки пересечения этих плоскостей с осью

Определение:Проекцией (геометрической ) вектора на ось U называется вектор А^/В^/, начало которого А^/ – есть проекция начала А на ось U ,а конец В^/ - проекция конца В на ту же ось. Обозначается проекция так: Пр _u или, короче, Пр _.

Определение: Проекцией (алгебраической) вектора на ось U называется длина вектора А^/В^/, взятая со знаком «+», если его направление совпадает с направлением оси u и со знаком «–», если их направления противоположны.

Обозначение: ПРu или ПР

Замечание 1:Геометрическая проекция (или компонента) вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора есть число.

Замечание 2: В задачах, требующих найти проекцию вектора, обычно, имеют в виду алгебраическую проекцию.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1: Проекция вектора на ось u равна длине вектора , умноженной на косинус угла между вектором и осью u,т. е.ПР_u =½½cos a(1) , где a – угол между вектором и осью u

Доказательство: Если a£ p ¤ 2 (на рисунке под а)), то в силу определения проекции имеем

ПР_ОХ = ½ А^/ В ^/ ½= ½ ½cos a .

Если же a> p / 2, (см. рис. в)), то в силу вновь определения

проекции имеем ПР_ОХ = –½ А^/ В ^/ ½= –½ ½cos(p-a)= =½ ½cos a. Таким образом, для любого угла a справедливо данное равенство. g

Следствие 1: Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

Следствие 2: Пусть = и задана ось l . Тогда справедливо равенство ПР_u = ПР_u , т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.