Уравнения Колмогорова

Уравнения Колмогорова составляют основу аналитических моделей СМО. Их можно получить следующим образом.

Изменение вероятности нахождения системы в состоянии за время есть вероятность перехода системы в состояние из любых других состояний за вычетом вероятности перехода из состояния в другие состояния за время , т.е.

(1)

где ( ) и ( ) — вероятности нахождения системы в состояниях и соответственно в момент времени ; произведение вида есть безусловная вероятность перехода из в , равная условной вероятности перехода, умноженной на вероятность условия; и — множества индексов инцидентных вершин по отношению к вершине по входящим и исходящим дугам на графе состояний соответственно.

Разделив выражение (1) на и перейдя к пределу при , получим

откуда следуют уравнения Колмогорова

В стационарном состоянии и уравнения Колмогорова составляют систему алгебраических уравнений, в которой -й узел представлен уравнением

(2)

Прибавляя к левой и правой частям уравнения (2) и учитывая что получаем т.е.

где — финальные вероятности.

Пример аналитической модели

Примером СМО, к которой можно применить аналитические методы исследования, является одноканальная СМО с простейшим входным потоком интенсивностью и длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциальному закону обслуживания интенсивностью . Для этой СМО нужно получить аналитические зависимости среднего числа заявок, находящихся в системе, среднюю длину очереди к ОА, время пребывания заявки в системе, время ожидания в очереди.

На рис. 1 представлен граф состояний рассматриваемой СМО, где — состояние с заявками в системе. Матрица интенсивностей представлена в табл. 1. Уравнения Колмогорова для установившегося режима имеют вид:

и т.д.

Рис. 1. Пример СМО

Таблица 1

Состояние						...
						...
						...
						...
						...
						...
...	...	...	...	...	...	...

Используя уравнения Колмогорова, можно выразить все через . Получим

и т.д.

Здесь введено обозначение . Отметим также, что установившийся режим возможен только при .

Так как то

Теперь нетрудно получить и остальные требуемые результаты:

Времена пребывания в системе и очереди находятся из соотношений:

которые называют формулами Литтла: