Аналитические модели СМО

Аналитические модели СМО удается получить только при довольно серьезных допущениях, что обусловливает ограниченные возможности аналитических исследований сложных систем. К числу типичных допущений относятся следующие.

Во-первых, как правило, считают, что в СМО используются бесприоритетные дисциплины обслуживания типа FIFO.

Во-вторых, времена обслуживания заявок в устройствах выбираются в соответствии с экспоненциальным (показательным) законом распределения, в соответствии с которым величина имеет плотность распределения

( ) = λexp(-λ ),

λ - параметр экспоненциального закона распределения.

В-третьих, в аналитических моделях СМО входные потоки заявок аппроксимируются простейшими потоками, т.е. потоками, обладающими свойствами стационарности, ординарности (невозможности одновременного поступления двух заявок на вход СМО), отсутствия последействия. Отсутствие последействия означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, другими словами, если для любых двух непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

В большинстве случаев модели СМО отображают процессы с конечным множеством состояний и с отсутствием последействия. Такие процессы называют конечными марковскими цепями.

Марковские цепи характеризуются множеством состояний , матрицей вероятностей переходов из одного состояния в другое и начальными условиями (начальным состоянием). Удобно представлять марковскую цепь в виде графа, в котором вершины соответствуют состояниям цепи, дуги — переходам, веса дуг — вероятностям переходов (если время дискретно) или интенсивностям переходов (если время непрерывно).

Отметим, что интенсивностью перехода называют величину , где — вероятность перехода из состояния в состояние за время . Обычно принимается условие что означает

(1)

где — число состояний. На рис. 1 приведен пример марковской цепи в виде графа перехода состояний с состояниями , а в табл. 1 представлена матрица интенсивностей переходов для этого примера.

Рис. 1. Пример марковской цепи

Таблица 1

Состояние

Большинство выходных параметров СМО можно определить, используя информацию о поведении СМО, т.е. информацию о состояниях СМО в установившихся (стационарных) режимах и об их изменениях в переходных процессах. Эта информация имеет вероятностную природу, что обусловливает описание поведения СМО в терминах вероятностей нахождения системы в различных состояниях. Основой такого описания, а следовательно, и многих аналитических моделей СМО являются уравнения Колмогорова.