Алгоритм численного интегрирования систем дифференциальных уравнений

Одна из удачных реализаций неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядка метода.

Предварительно отметим, что в методах -го порядка локальная погрешность, т.е. погрешность, допущенная на одном -м шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членов

в разложении решения в ряд Тейлора, где — постоянный коэффициент, зависящий от метода, — норма вектора -х производных , которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации, — значение времени внутри шага.

Если -й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т.е. выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением должен быть явным. Используя разложение решения в ряд Тейлора в окрестностях точки , получаем для -го неявного шага

(1)

и для -го явного шага

(2)

где и — величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту . Подставляя (1) в (2), при получаем:

(3)

т.е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (1) и (2) взаимно компенсируются, и старшим из отбрасываемых членов становится член с . Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формул Эйлера дает метод интегрирования второго порядка.

Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный метод целесообразно использовать только при переменной величине шага. Действительно, при заметных скоростях изменения фазовых переменных погрешность остается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатических режимах шаг может быть во много раз больше.

Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторый диапазон (коридор) погрешностей , в пределах которого шаг сохраняется неизменным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границу диапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шаг увеличивается.