Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Вычисления при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл — цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), например, при применении узлового метода формирования ММС такой системой является

(1)

где — матрица Якоби, — вектор правых частей. Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения систем алгебраических уравнений можно применять прямые итерационные методы. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации. Для них необходимо выполнение довольно жестких условий сходимости, характерна сравнительно медленная сходимость.

Поэтому в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель (1) получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.

Представим СНАУ в виде

(2)

Разлагая в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки , получаем

Сохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором :

(3)

где — матрица Якоби. Решение системы (3) дает очередное приближение к корню системы (2), которое удобно обозначить .

Вычислительный процесс стартует с начального приближения и в случае сходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как станет меньше допустимой погрешности .

Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существует легко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.

В методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр , такой, что при корень системы (2) известен, а при увеличении от до его истинного значения составляющие вектора плавно изменяются от до истинного значения корня. Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значениях , и при достаточно малом шаге изменения условия сходимости выполняются.

В качестве параметра можно выбрать некоторый внешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источника питания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве выбирают шаг интегрирования . Очевидно, что при корень СНАУ равен значению вектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений возлагается на алгоритм автоматического выбора шага.

В этих условиях очевидна целесообразность представления математических моделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для динамического анализа.

К другим методам решения систем алгебраических уравнений, используемым в математическом обеспечении САПР, относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации.

В соответствии с методом простой итерации вычисления выполняют по формуле

(4)

причем для обеспечения сходимости параметр нужно выбирать из условия для любого где — -е собственное значение матрицы Якоби.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что правая часть итерационной формулы (4) обновляется сразу же после вычисления очередного элемента вектора .

В соответствии с методом Якоби вычисления выполняют по формуле

(5)

где — диагональ матрицы Якоби системы уравнений (1).