III. Закрепление изученного материала.

1. № 724.

Решение:

Если число а при делении на 7 даёт в остатке 3, то оно может быть записано в виде:

а = 7q + 3, где q – частное от деления.

Перебирая различные q, будем получать искомые числа:

q = 0, а = 7 · 0 + 3 = 3;

q = 1, а = 7 · 1 + 3 = 10;

q = 2, а = 7 · 2 + 3 = 17 (не удовлетворяет условию);

q = –1, а = 7 · (–1) + 3 = –4;

q = –2, а = 7 · (–2) + 3 = –11;

q = –3, а = 7 · (–3) + 3 = –18 (не удовлетворяет условию).

Ответ: –11, –4, 3, 10.

2. № 726.

Решение:

Если число т при делении на 35 даёт в остатке 15, то оно может быть записано в виде:

т = 35q + 15, где q – частное от деления.

Каждое слагаемое этой суммы делится на 5, значит, и вся сумма делится на 5.

Первое слагаемое суммы делится на 7, а второе не делится, значит, вся сумма не делится на 7.

Ответ: на 5 делится, на 7 не делится.

3. № 727.

Решение:

Согласно условию число а может быть записано в виде:

a = bc + d.

Если числа b, c и d нечётные, то приходим к следующимвыводам:

1) число bc – нечётное (как произведение двух нечётных чисел);

2) число bc + d – чётное (как сумма двух нечётных чисел).

Получится следующее: если числа b, c и d нечётные, то число а будет только чётным. Значит, числа а, b, c и d не могут быть одновременно нечётными.

4. № 728.

Решение:

Если числа а и b при делении на 3 дают различные остатки, то они могут быть записаны в виде:

а = 3q + 1 и b = 3р + 2.

Найдем число аb + 1:

аb + 1 = (3q + 1) (3р + 2) + 1 = 9рq + 6q + 3р + 3.

Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, значит, и вся сумма делится на 3.

5. № 730.

Решение:

Если при делении числа а на 12 получается остаток 5, то число а может быть записано в виде:

а = 12q + 5, где q – частное от деления.

При делении числа а = 12q + 5 на 4 первое слагаемое суммы разделится на 4 без остатка, а второе даст в остатке 1. Значит, число а при делении на 4 даст в остатке 1.

Ответ: 1.

6. № 732.

Решение:

Если число а при делении на 5 даёт в остатке 1, то оно может быть записано в виде:

а = 5q + 1, где q – частное от деления.

Если же это число при делении на 7 даёт в остатке 1, то его можно записать так:

а = 7р + 1, где р – частное от деления.

По условию q больше р на 4. Получим систему уравнений:

5р + 20 + 1 = 7р + 1;

2р = 20;

р = 10.

Найдем число а:

а = 7р + 1 = 7 · 10 + 1 = 71.

Ответ: 71.