II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут упражнения на закрепление умения складывать и вычитать многочлены. А во 2-ю группу – упражнения на представление многочлена в виде суммы или разности многочленов.

1-я группа

1. № 597; № 599.

2. № 602.

Решение:

Выполним вычитание многочленов.

= 0,6х² – 0,4ху – 1,5у +
+ 1 – у² + 0,4ху – 0,6х² = 1 – 1,5у – у².

В полученный многочлен не входит переменная х, значит, исходное выражение не зависит от этой переменной.

3. № 610.

Решение:

а) Пусть п, п + 1 и п + 2 – три последовательных натуральных числа. Найдем их сумму:

п + п + 1 + п + 2 = 3п + 3.

Каждое слагаемое этой суммы кратно трём, значит, и вся сумма кратна 3.

б) Пусть п, п + 1, п + 2, п + 3 – четыре последовательных натуральных числа. Найдем их сумму:

п + п + 1 + п + 2 + п + 3 = 4п + 6.

Первое слагаемое этой суммы кратно четырём, а второе – нет, значит, вся сумма не кратна четырем.

2-я группа

Представление многочлена в виде суммы или разности многочленов является обратной задачей к сложению и вычитанию многочленов. Поэтому начинать выполнение соответствующих упражнений можно, только убедившись, что учащиеся хорошо овладели умением находить сумму и разность многочленов.

Начать рассмотрение данного вопроса лучше с задачи.

Задача.После сложения одночлена с двучленом был получен многочлен 2а – 3b + 4с. Какой одночлен с каким многочленом был сложен?

Решение:

Важно, чтобы учащиеся поняли, что существует несколько вариантов, каждый из которых нужно рассмотреть:

2а + (–3b + 4с), – 3b + (2а + 4с), 4с + (2а – 3b).

После этого можно переформулировать задачу, сказав, что много-член 2а – 3b + 4с был получен в результате вычитания многочлена из одночлена. Здесь также нужно рассмотреть все варианты:

2а – (3b – 4с), – 3b – (–2а – 4с), 4с – (–2а + 3b).

В результате делаетсявыводо том, как представлять многочлен в виде суммы или разности многочленов, а затем приступить к выполнению соответствующих заданий.

1. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:

а) 2а³ – 5а² – а + 8;

б) –3у⁵ + 2у³ + 7у – 5.

2. Представьте выражение в виде разности одночлена и трех-члена:

а) у³ + 3у² – 4у – 7;

б) 2р⁴ + р² + 7р – 8.

3. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит переменную b, а другой нет:

а) bx² – x + 1 – b;

б) a² – b² – 2ab – 1.

Решение:

а) bx² – x + 1 – b = (bx² – b) + (1 – х);

б) a² – b² – 2ab – 1 = (а² – 1) + (–b² – 2ab).

4. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами:

а) рс + р – с – 1; в) 3z – 5y – 2;

б) 8х – 3а – 1 + 24ах; г) –3а – 5b + 8.

Решение:

а) рс + р – с – 1 = (рс + р) – (с + 1);

б) 8х – 3а – 1 + 24ах = (8х + 24ах) – (3а + 1);

в) 3z – 5y – 2 = 3z – (5y + 2);

г) –3а – 5b + 8 = 8 – (3а + 5b).