Простейшие рациональные дроби.

2.2.1. Определение. Правильные рациональные дроби вида , , , где p²-4q<0, k≥1, A, B, a, p, q - действительные числа, называются простейшими рациональными дробями.

Простейшие дроби принято разбивать на четыре вида:

- простейшая дробь первого вида;

, (k≥2) - простейшая дробь второго вида;

- простейшая дробь третьего вида;

, (k≥2) - простейшая дробь четвёртого вида.

2.2.2. Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей:

= + +…+ + + +…+ +…+

+ + +…+ +…+ (2.1.1)

+ + +…+ .

где А₁, А₂, …, B₁, B₂, …, C₁, C₂, …, D₁, D₂, …, M₁, M₂, …, N₁, N₂, …, - некоторые действительные числа.

Например

= + + ,

= + + + ,

= + +

+ + +

Здесь действительные коэффициенты A, B, C, D, E, F, G, H требуют вычислений.

2.2.3. Если для дроби известно разложение знаменателя на неприводимые множители, то можно выписать её представление в виде (2.1.1). Для нахождения неопределённых коэффициентов А₁, А₂, …, B₁, B₂, …, C₁, C₂, …, D₁, D₂, …, M₁, M₂, …, N₁, N₂, …, в этом равенстве можно применить, например, метод неопределённых коэффициентов, который заключается в следующем:

1. Правую часть равенства (2.1.1) приведём к общему знаменателю Q_n(x); в результате получим тождество º , где S(x) - многочлен неопределёнными коэффициентами А₁, А₂, …, B₁, B₂, …, C₁, C₂, …, D₁, D₂, …, M₁, M₂, …, N₁, N₂, ….

2. Так как в полученном равенстве (тождестве) знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители, то есть равны многочлены, стоящие в числителях дробей равенства: P_m(x)=S(x).

3. Так как многочлены равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты (см. 1.1.4), то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства P_m(x)=S(x), получим систему линейных уравнений, из которой определяются искомые коэффициенты А₁, А₂, …, B₁, B₂, …, C₁, C₂, …, D₁, D₂, …, M₁, M₂, …, N₁, N₂, …,.

2.2.4. Упражнение. Представить дробь в виде суммы простейших:

a) ; б) ;

в) ; в) ;

Решение. а) Имеем = + + . Правую часть этого равенства приведём к общему знаменателю:

= =

= =

= ,

То есть = .

Так как в полученном равенстве (тождестве) знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители, то есть равны многочлены, стоящие в числителях дробей равенства: х-1=(A+C)x²+(3A+B+4C)x+(2A+B+4C). Так как многочлены равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты, то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях полученного равенства, получим систему линейных уравнений:

решая которую, например, методом Гаусса, определяем искомые коэффициенты А, В, С:

Û Û Û

Û Û

Таким образом, = + - .

Ответ: = + - .

2.2.5. Теорема. Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена (возможно, нулевого) и простейших дробей.

2.2.6. Упражнение. Представить дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей.

a)

б) ;

в) .

Решение. a) Представим сначала дробь в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби: (см. решение упражнения 2.1.3 а)) =3x²-2х+10+ . Теперь достаточно представить дробь в виде суммы простейших:

= = + = =

= ;

Û Û

= - .

Окончательно имеем

=3x²-2х+10+ - .

Ответ: а) =3x²-2х+10+

+ - .