Понятие рациональной дроби.

2.1.1. Определение. Рациональной дробью (или дробно-рациональнойфункцией) называется функция, равная отношению двух многочленов: ¦(x)= , где P_m(x) - многочлен степени m, Q_m(x) - многочлен степени п. При этом P_n(x) называется числителем дроби, а Q_m(x) - её знаменателем.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть m<n; в противном случае (то есть если m³n) рациональная дробь называется неправильной.

2.1.2. Теорема. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочленa ¦(x) и правильной рациональной дроби :

=¦(x)+

2.1.2. Правило: Для того, чтобы представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби, достаточно разделить числитель P_m(x) на знаменатель Q_n(x) с остатком: P_m(x)=¦(x)Q_п(x)+R_k(x) Тогда (неполное) частное от деления является многочленом ¦(x), а остаток R_k(x) - числителем правильной дроби .

2.1.3. Упражнение. Представить в виде суммы многочлена и правильной дроби дробь:

a)

б) ;

в) .

Решение. a) Разделим с остатком числитель 3x⁴-2x³+x²-x-1 на знаменатель x²-3: 3x⁴-2x³+x²-x-1=(x²-3)(3x²-2х+10)+(-7х+29) (см. 1.2.2 предыдущего параграфа). Поэтому =3x²-2х+10+ .

Ответ: а) =3x²-2х+10+ .