Корни многочленов.

1.3.1. Определение. Если

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ — (1.3.1)

многочлен над числовым множеством F, cÎF, то

f(a)=a_naⁿ+a_n-1a^n-1+...+a₁a+a₀ —

элемент из F. f(a) называется значнием многочлена f(x) при х=a. Если f(a)=0, то a называется корнем многочленаf(x).

1.3.2. Упражнение. Пусть дан многочлен f(x)=x³-3x+2. Найти:

а) f(2); б) f(1); в) f(-2); г) f(-1); д) f(-3); е) f(4).

Решение. а) f(2)=2³-3×2+2=4; б) f(1)=1³-3×1+2=0 (в частности, 1 — один из корней многочлена f(x)=x³-3x+2).

Ответ: а) f(2)=4; б) f(1)=0.

1.3.3. Упражнение. Найти многочлен второй степени f(x), если:

а) f(2)=6; f(1)=1; f(-1)=9;

б) f(3)=4; f(-1)=1; f(1)=2;

в) f(-2)=6; f(-1)=-1; f(-2)=5.

Решение. а) По условию имеем, что искомый многочлен имеет вид f(x)=ax²+bx+c. Поэтому f(2)=4a+2b+c, f(1)=a+b+c и f(-1)=a-b+c. Следовательно, для нахождения коэффициентов многочлена f(x)=ax²+bx+c необходимо решить систему Ее решением является а=3, b=-4 , c=2.

Ответ: f(x)=3x²-4x+2.

1.3.4. Упражнение. Найти корни многочлена f(x):

а) f(x)=3х-4;

б) f(x)=2x³+8x²-10х;

в) f(x)=x⁴-2x³+x²;

г) f(x)=-x³+x²-4x+4 .

Решение. Для нахождения корней многочлена достаточно решить уравнение f(x)=0.

а) Решением уравнения 3х-4=0 является х= . Следовательно, — корень многочлена 3х-4.

б) Решениями уравнения 2x³+8x²-10х=0 являются х₁=0, х₂=-5, х₃=1. Следовательно, 0, -5, 1 — корни многочлена 2x³+8x²-10х.

О т в е т: а) ; б) 0, -5, 1.

1.3.5. Теорема. a — корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когдаf(x)=(х-a)g(x) для некоторого многочлена g(x).

1.3.6. Теорема (основная теорема алгебры).Всякий многочлен n-й степени, где n>0, имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).

Из теорем 1.3.5 и 1.3.6 вытекает

1.3.7. Следствие. Всякий многочлен P_n(x) n-й степени, где n>0, имеет в точностиn корней; и если a₁, a₂, …, a_n - все корни многочлена, то его можно представить в виде

P_n(x)=a₀(x-a₁)(x-a₂)…(x-a_n), (1.3.2)

гдеa₀ - старший коэффициент многочлена.

1.3.8. Определение. Представление многочлена в виде (1.3.2) называется разложением его на линейные множители.

1.3.9. Упражнение. Разложить на линейные множители многочлены упражнения 1.3.4.

Решение. б) Так как корнем многочлена 2x³+8x²-10х являются х₁=0, х₂=-5, х₃=1, то 2x³+8x²-10х=2(х-0)(х+5)(х-1), то есть

2x³+8x²-10х=2х(х+5)(х-1).

Ответ: б) 2x³+8x²-10х=2х(х+5)(х-1).

1.3.10. Упражнение.Разложить на линейные множители многочлены:

а) x⁴-2x²+1;

б) x³+2x²-x-2;

в) x³-7x-6;

г) x⁴+x³-11x²-9x+18;

д) x⁵+9x⁴+27x³+23x²-24x-36.

Решение. г) Заметим, что х=1 - корень многочлена. Поэтому, разделив его (многочлен) на х-1, получим

x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x³+2x²-9x-18).

Далее, множитель x³+2x²-9x-18 разложим, группируя слагаемые и вынося за скобку общий множитель:

x³+2x²-9x-18=(x³+2x²)-(9x+18)=x²(x+2)-9(x+2)=(x²-9)(x+2).

Наконец, x²-9=(x-3)(x+3) как разность квадратов. Окончательно получаем

x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x+2)(x-3)(x+3).

Ответ: x⁴+x³-11x²-9x+18=(х-1)(x+2)(x-3)(x+3).

1.3.11. Определение.Если в разложении (1.3.2) многочлена какой-либо корень встречается в точности k раз, то этот корень называется корнем кратностиk. Если k=1, то корень называется простым.

С учётом кратностей корней разложение (1.3.2) можно записать в виде

, (1.3.3)

где a₁, a₂, …, a_k - попарно различные корни многочлена, k₁ - кратность корня a₁, k₂ - кратность корня a₂, и т.д. Ясно, что k₁+k₂+…+k_r=n.

Например,

(х-3)(х+5)(х-1)(х-1)(х+5)(х-2)(х-3)(х+5)(х-3)=(х-2)(х-3)³(х+5)³(х-1)².

Здесь 2- простой корень данного многочлена, 3 и -5 - корни кратности 3, 1 - корень кратности 2.

1.3.12. Теорема.Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами:

. (1.3.3)

При этом k₁+k₂+…+k_r+2(s₁+s₂+…+s_l)=n, и все квадратные множители x²+p_ix+q_i не имеют действительных корней (другими словами, их дискриминанты отрицательны: -4q_i<0.

1.3.13. Определение.Представление многочлена в виде (1.3.3), где -4q_i<0, называется разложением многочлена на неприводимые множители; соответственно, x-a_i (i=1, …, r), x²+p_jx+q_j (j=1, …, l) - неприводимые множители многочлена.

1.3.14. Упражнение.Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами многочлены.

а) x⁴+x³-x-1;

б) x⁴+x³-11x²-9x+18. (Указание: сгруппировать первые 2 слагаемые и 3-е, 4-е, 5-е слагаемые отдельно и заметить, что х=2 - корень многочлена).