1.1.1. Определение. Пусть F — некоторое числовое множество (например, это может быть множество действительных чисел R или множество комплексных чисел C). Тогда выражение f(x) вида
a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an, (1.1.1)
где a0, a1, ... , an-1,an — элементы множества F, x — некоторая переменная величина из, вообще говоря, произвольного (необязательно F) числового множества, называется многочленом надF. При этом, если a0¹0, то n называется степенью многочленаf(x) и обозначается через ст.f(x).
Многочлены будем обозначать также через g(x), h(x) и т.д., иногда снабжая их индексами: f1(x), f2(x) и т.д.
Иногда многочлен будем записывать в виде
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0. (1.1.1¢)
Наконец, для того, чтобы подчеркнуть степень многочлена, его обозначают через Pn(x), Qm(x) и т.д. Здесь n и m - степени соответственно Pn(x) и Qm(x).
Многочлен может быть записан не только в виде (1.1.1) и (1.1.1¢), то есть в порядке понижения степеней, но и в произвольном порядке их следования. Если многочлен имеет вид (1.1.1) (соответственно, (1.1.1¢)), то говорят, что он записан в стандартном виде.
Любое ненулевое число из F можно рассматривать как многочлен нулевой степени, а число нуль — как многочлен неопределенной степени.
Если какой-либо коэффициент ai у многочлена отрицателен, то принято вместо знака «+» в обозначении многочлена ставить соответствующий знак «-». Например, пишут не 3x3+(-4)x2+x+(-2), а 3x3-4x2+x-2. Если какой-либо коэффициент ai=0, то соответствующий член многочлена опускают. Так, пишут не 3x5+0x4+0x3-4x2+0x-2, а 3x5-4x2-2.
1.1.2. Упражнение. Указать коэффициенты и степени многочленов:
а) f(x)=3x5-4x2+x-2;
б) f(x)=-x3-x+2;
в) f(x)=3x5+2x2-1;
г) f(x)=x7;
д) f(x)=-3;
е) f(x)=(a2-9)x2+(a-3)x+(a-3);
ж) f(x)=(a2-4)x3+(a-2)x2+3;
з) f(x)=(a2-3a+2)x3+(a-1)x2+(a-2)x+5;
и) f(x)=(a3-a)x2+a(a+1)x+a.
Решение. а) В обозначениях (1.1.1) имеем a0=3, a1=0, a2=0, a3=-4, a4=1, a5=-2. Степень многочлена f(x) равна 5.
е) Если a¹±3, то a0=a2-9, a1=a-3 и a2=a+3, а степень g(x) равна 2. Если a=-3, то a0=0, a1=-6, a2=-6, степень g(x) равна 1. Если же а=3, то g(x) — нулевой многочлен и степень его не определена.
Ответ: а) a0=3, a1=0, a2=0, a3=-4, a4=1, a5=-2. Степень многочлена f(x) равна 5.
1.1.3. Упражнение. Записать многочлен f(x), если заданы его коэффициенты:
а) 1; -2; 3; -4; 5;
б) 2; 0; 3; -1; 0; 1; -2;
в) -5; 0; 0; 0; 0;
г) 2; -1; 3; 1; 6;
д) 1; 0; 0; 0; 0; 4;
е) 3; 0; 0; 0; 0; 0;
ж) 2; 0; -1; 0; 4; 0.
Решение. а) f(x)=x4-2x3+3x2-4x+5;
б) f(x)=2x6+3x4-x3+x-2;
в) f(x)=-5x4.
1.1.4. Определение. Два многочлена
f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, (1.1.2)
g(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0 (1.1.3)
называются равными, если m=n и ai=bi для любого индекса i. В частности, степени равных многочленов равны.
1.1.5. Упражнение. Определить, равны ли многочлены:
а) f(x)=x4-2x3+3x2-4x+5 и g(x)=x4-x3+3x2-4x+5;
б) f(x)=x4-2x3+3x2-4x+5 и g(x)=x4+3x2-4x-2x3+5.
Решение. а) Данные многочлены не равны, так как коэффициенты при x3 у них различны.
б) Данные многочлены равны, так как равны все коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
1.1.6. Упражнение. Какие из следующих многочленов равны между собой:
f(x)=0,5x3+2x2-5х+7;
g(x)=lg x3+ x2+ х+7;
h(x)=sin30o×x3+lg100×x2- х+ ;
s(x)=cos120o×x3+ ×x2+ х+ ;
p(x)=cos90o×x+5;
q(x)=5.
1.1.7. Упражнение. При каких значениях a, b, c многочлены f(x)=ax4+bx3+3x2+5 и g(x)=x3+(c-1)x2+5 равны между собой?
1.1.8. Определение. Пусть n>m. Суммой многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)+g(x) и такой, что
h(x)=cnxn+cn-1xn-1+...+c1x+c0,
где cn=an+bn, cn-1=an-1+bn-1, ... , c1=a1+b1, c0=a0+b0. При этом если n>m, то считаем bm+1, bm+2, ... bn равными нулю.
1.1.9. Определение. Произведением многочленов (1.1.2) и (1.1.3) называется многочлен h(x), обозначаемый как f(x)g(x) и такой, что
h(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+...+d1x+d0,
где di= , i=0, 1, ... , n+m-1, n+m (например, d0=a0b0, d1=a0b1+a1b0, d2=a0b2+a1b1+a2b0 и т.д.)
1.1.10. Теорема.Пустьf(x), g(x) иh(x) — многочлены. Справедливы следующие свойства операций сложения и умножения многочленов:
1. ст.(f(x)+g(x)) не выше максимального из ст.f(x) и ст.g(x).
2. ст.(f(x)g(x))=ст.f(x)+ст.g(x).
3. f(x)+g(x)=g(x)+f(x).
4. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x).
5. Существует такой многочлен0(x), чтоf(x)+0(x)=f(x) для любогоf(x). 0(х)называется нулевым. Роль нулевого многочлена играет 0.
6. Для любого многочленаf(x) существует многочленg(x) такой, чтоf(x)+g(x)=0. g(x) называется противоположным к f(x) и обозначается через -f(x). Ясно, что если f(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an, то -f(x)=-a0xn-a1xn-1-...-an-1x-an.
7. f(x)g(x)=g(x)f(x).
8. f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x).
9. Существует такой многочленe(x), чтоf(x)e(x)=f(x) для любогоf(x). e(x) называется единичным. Роль единичного многочлена играет 1.
10. (f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x).
1.1.11. Определение. Разностью многочленов f(x) и g(x) называется многочлен h(x), обозначаемый через f(x)-g(x) и равный f(x)+(-g(x)). Таким образом, по определению полагаем f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)).
1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=3x3+2x2-5 и g(x)=4x4-x3+2x2-x. Найти:
а) f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)g(x);
б) f(x)g(x)+f 2(x).
Решение. а) Согласно определению суммы многочленов f(x) и g(x) имеем
1.1.12. Упражнение. Даны многочлены f(x)=2x3-3x2+7х+1 и g(x)=3x2+2x+5. Наиболее рациональным способом найти:
а) f(x)±g(x), f(x)g(x);
б) f(x)g(x)+f (x), f 2(x)-f (x).
1.2. Делимость многочленов.
1.2.1. Теорема.Для любых двух многочленов f(x) и g(x) существуют такие многочлены q(x) и r(x), что
f(x)=g(x)q(x)+r(x), (1.2.1)
причем степень r(x) меньше степени q(x) или r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x) определяются однозначно.
Многочлен q(x) называется частным от деленияf(x) наg(x), а r(x) — остатком.
Укажем два метода нахождения частного и остатка.
1. Метод деления “уголком”. Этот метод проиллюстрируем на следующем примере.
1.2.2. Пример. Найти частное от деления многочлена f(x)=3x4-2x3+x2-x-1 на многочлен g(x)=x2-3.
Решение. Будем вести запись процесса деления аналогично записи деления “уголком” целых чисел, пронумеровав каждый этап деления в круглых скобках. Итак:
(1) 3x4-2x3+x2-x-1|x2-3
3x2 (берем по 3x2 )
(2) _3x4-2x3+x2-x-1|x2-3
(умножаем 3x2 на g(x)) ® 3x4-9х2 3x2
(вычитаем из f(x) 3x4-9х2)® -2x3+10x2-x-1
(3) _3x4-2x3+x2-x-1|x2-3
3x4-9х2 3x2-2х(берем по -2x)
_-2x3+10x2-x-1
(умножаем -2x на g(x)) ® -2x3+6х
(вычитаем -2х3+6х из -2x3+10х2-х-1)® 10x2-x-1
(4) _3x4-2x3+x2-x-1|x2-3
3x4-9х2 3x2-2х+10(берем по 10)
-2x3+10x2-x-1
-2x3+6х
_10x2-x-1
(умножаем 10 на g(x)) ® 10x2-30
-7х+29 остаток
Таким образом, частное от деления q(x)=3x2-2х+10, остаток r(x)=-7х+29. При этом 3x4-2x3+x2-x-1=(x2-3)(3x2-2х+10)+(-7х+29).
2. Метод неопределенных коэффициентов также проиллюстрируем на предыдущем примере. Так как ст.f(x)=4 и ст.g(x)=2, то ст.q(x)=2, поэтому q(x)=аx2+bх+c. Далее, ст.r(x)<ст.g(x), поэтому r(x)=dx+e. Следовательно, равенство (1.2.1) для данных многочленов (f(x) и g(x)) и искомых (q(x) и r(x)) принимает вид
3x4-2x3+x2-x-1=(x2-3)(аx2+bх+c)+(dx+e). (1.2.2)
Выполнив операции в правой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
решая которую, получаем
то есть имеем q(x)=3x2-2х+10 и r(x)=-7х+29.
1.2.3. Упражнение. Выполнить деление с остатком (двумя методами):
а)2x4-3x3+4x2-5х+6 на x2-3x+1;
б) x3-3x2-x-1 на 3x2-2x+1;
в) x4-2x3+4x2-6х+8 на х-1;
г) 2x5-5x3-8x на х+3;
д)4x3+x2 на х+1+i;
е) x3-x2-х на х-1+2i.
1.2.4. Определение. Если в представлении (1.2.1) r(x)=0, то говорят, что f(x) делится наg(x)нацело или что g(x) делитf(x).
1.2.5. Упражнение. При каких значениях а многочлен f(x) делится на многочлен g(x).
а) f(x)=х4+ах+6, g(x)=х2+2;
б) f(x)=x6+x3+а, g(x)=x3+2.
Р е ш е н и е. а) Разделим “уголком”:
_х4+ах+6 |х2+2
x4+2x2x2+(a-2)
_(a-2)x2+6
(a-2)x2+2(a-2)
6-2(a-2)
Таким образом, f(x) делится на g(x), если остаток 6-2(a-2)=0, откуда а=5.
x3+ 
x2+ 
х+7;
х+ 
;
×x2+ 
х+ 
;
, i=0, 1, ... , n+m-1, n+m (например, d0=a0b0, d1=a0b1+a1b0, d2=a0b2+a1b1+a2b0 и т.д.)
