Стержневая конструкция

В этой задаче необходимо составить математическую модель минимизации веса конструкции, представленной на рис. 3.9, и провести анализ различных случаев крепления стержней в точке С.

Рис. 3.9. Схема конструкции

При проектировании необходимо учитывать следующие ограничения. 1. Высота конструкции не должна превышать b1. 2. Отношение среднего диаметра трубки к толщине её стенок не должно превышать b2. 3. Прочностные соотношения для напряжений сжатия и изгиба Р (S2 + x23)1/2£ b3 x1 x2 x3, Р (S2 + x23)3/2£ b4 x1 x2 x3 (x21 + x22), где b3, b4 – известные параметры.

Первым этапом в решении поставленной задачи является составление математической модели, которая имеет вид

целевая функция: f(x)=m=8 x₁ x₂ (S² + x²₃)^1/2,

ограничения:

1) x₃£ b₁,

2) x₁ x₂^-1£ b₂,

3) Р (S² + x²₃)^1/2 x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1£ b₃,

4) Р (S² + x²₃)^3/2 x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 (x²₁ + x²₂)^-1£ b₄.

В соответствии с методом геометрического программирования ограничения переписываются в следующем виде:

1) x₃ b₁^-1£1,

2) x₁ x₂^-1 b₂^-1£ 1,

3) Р (S² + x²₃)^1/2 x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 b₃^-1£1,

4) Р (S² + x²₃)^3/2 x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 (x²₁ + x²₂)^-1 b₄^-1£ 1,

а также для получения позиномов вводятся дополнительные ограничения:

5) S² + x²₃£t²,

6) x²₁ + x²₂£m.

Таким образом, ЦФ и ограничения в связи с принятыми дополнительными ограничениями примут вид:

1) жёсткое соединение узла С:

1) f(x)=8 x₁ x₂ t,

2) x₃ b₁^-1£1,

3) x₁ x₂^-1 b₂^-1£ 1,

4) Р t x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 b₃^-1£1,

5) Р t³ x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 μ ^-1 b₄^-1£ 1,

6) S² t^-2 + x²₃ t^-2£1,

7) x²₁ m^-1 + x²₂ m^-1£1;

2) шарнирное соединение узла С:

1) f(x)=8 x₁ x₂ t,

2) x₃ b₁^-1£1,

3) x₁ x₂^-1 b₂^-1£ 1,

4) Р t x₁^-1 x₂^-1 x₃^-1 b₃^-1£1,

5) S² t^-2 + x²₃ t^-2£1,

6) x²₁ m^-1 + x²₂ m^-1£1.

Определение степени трудности двух задач осуществляется по формуле

d=n – m – 1,

где n – общее количество позиномов; m – количество оптимизируемых параметров.

Следовательно, для различных вариантов соединения стержней параметр d имеет следующие значения:

1) жёсткое соединение узла С: d=9 – 6 – 1=2;

2) шарнирное соединение узла С: d=8 – 6 – 1=1.

Далее строится матрица экспонент:

1) жёсткое соединение узла С:

2) шарнирное соединение узла С:

С помощью представленных матриц, из условий нормализации и ортогональности составляется система уравнений, имеющая следующий вид:

1) жёсткое соединение узла С:

2) шарнирное соединение узла С:

Так как количество уравнений в обоих случаях меньше количества неизвестных, то необходимо замкнуть систему введением уравнений равновесия, количество которых равно числу степени трудности d:

где b_i⁽⁰⁾ – вектор нормализации; b_i^(j) – вектор невязки; r_i – базисная переменная (их количество равно числу d).

Составляется двойственная функция:

1) жёсткое соединение узла С:

2) шарнирное соединение узла С:

Итак, введение дополнительных переменных и ограничений позволило привести задачу в обоих случаях нагружения к такому виду, который позволяет применить обычный алгоритм метода геометрического программирования.