Двухопорная цапфа

Маховик весом W, установленный на оси диаметром D, поддерживается двухопорной цапфой, изображенной на рис. 3.8. Требуется определить L и D таким образом, чтобы минимизировать момент трения вращающейся оси при допустимом зазоре на смазку.

Рис. 3.8. Конструктивная схема

Момент трения для двух опор вычисляется по формуле

,

где k₁ – константа, зависящая от вязкости применяемого масла; w - угловая скорость вращения; d - радиальный зазор, опре-деляемый как разность между радиусом цапфы и радиусом оси; e – эксцентриситет конструкции, определяемый как ,

где 0 < e < , а - верхний предел эксцентриситета конструкции; h₀ – наименьшая толщина масляного покрытия при установившемся режиме работы механизма.

Ограничения на h₀ налагаются следующими неравенствами :

,

где - минимальная толщина масляного покрытия.

Угол кручения оси q должен быть не больше заданного q_мах, а его величина определяется по формуле

,

где k₂ – константа, зависящая от точки приложения вращающего момента на оси.

Вес маховика W и величина нагрузки на опоры С должны быть связаны неравенством

2С ³ W.

Из гидродинамических соображений безопасная нагрузка на опоры определяется соотношением

,

где .

Таким образом, при заданных величинах q_мах необходимо найти такие параметры D, L, h₀, чтобы минимизировать момент трения. Неизвестные обозначим следующим образом: x₁ = D, x₂ = L, x₃ = h₀. Поэтому модель оптимизации примет вид:

целевая функция ,

ограничения: 1) (1 – ē) δx₃^-1<1,

2) 1/(Q_maxk₂)x₁^-1<1,

3) 2/ δ x₄^-1 x₃ - 2/ δ² x₄^-1 x₃²<1,

4) 2 k₁ωπW/ δ² x₁^-1 x₂^-3 - 2 k₁ωπW / δ³ x₁^-1 x₂^-3 x₃^-1<1.

Определим степень трудности данной оптимизационной задачи:

d = n – m – 1,

где n = 7 – количество позиномов, входящих как в целевую функцию, так и в ограничения; m = 4 – количество неизвестных; поэтому

d = 7 –4 – 1 = 2.

Составим систему уравнений, первое из которых является условием нормализации, а остальные – ортогональности:

δ₁ = 1,

3δ₁ – δ₃ – δ₆ - δ₇ = 0,

δ₁ -3 δ₆ -3 δ₇ = 0,

-δ₂ + δ₄ + 2 δ₅ - δ₇ = 0,

-0,5 δ₁ – δ₄ – δ₅ = 0.

Введем базисные переменные r₁ = δ₅, r₂ = δ₂; тогда

δ₁ = 1,

δ₂ = r_2,

δ₃ = 8/3,

δ₄ = -1-r₁ - r₂,

δ₅ = 0,5 + r₁ + r₂,

δ₆ = 1/3 - r₁,

δ₇ = r₁.

Решая систему нелинейных уравнений равновесия:

(-1 - r₁ – r₂)^-1 r₁(-1/5 - 2r₁ -2 r₂)² (1/3 - 2 r₁)² (0,5 + r₁ + r₂) (1/3 - r₁)^-1 = 1/2δ² и

(-1 - r₁ – r₂)^-1 (-1/5 - 2r₁ -2 r₂)² (0,5 + r₁ + r₂) = (1- ē )/2,

найдем r_1, r₂. Подставляя найденные значения базисных переменных, можно определить значения двойственных переменных, по которым определяется значение двойственной функции V(δ).

Анализ представленной ММ показывает, что данная задача относится к обобщенному математическому программированию, поэтому значение двойственной функции не является оценкой значения ЦФ. В связи с этим решение прямой задачи заключается в поиске стационарных точек двойственной задачи.

Следует отметить, что для решения обобщенных задач геометрического программирования разработано два типа методов: последовательные методы, использующие ряд аппроксимационных задач с помощью метода конденсации, и методы непосредственного решения в одном из эквивалентных видов, к которым относятся, например, экспоненциальный и дробно-геометрический с ограничениями в виде неравенств разных знаков.