Червячно-цилиндрический редуктор

В задаче определения оптимальных значений параметров червячно-цилиндрического редуктора (рис. 3.7) в качестве ЦФ принята суммарная стоимость материалов обеих ступеней:

где К₁´- весовой коэффициент, учитывающий стоимость единицы массы червячного колеса и червяка; К₂´- весовой коэффициент, учитывающий стоимость единицы массы колес цилиндрической ступени редуктора; т₁₂ - масса червячного колеса; т₂₁ и т₂₂ – масса соответственно ведущего и ведомого колеса цилиндрической ступени.

В червячной ступени стоимость червяка учитывают при определении весового коэффициента червячного колеса, обод которого в большинстве случаев изготовляют из дефицитных материалов с антифрикционными свойствами.

При введении коэффициента f = К₁´/ К₂´ параметр К определяется по формуле

Масса каждого колеса находится из выражения

где n- индекс ступени; m - индекс колеса; ρ – плотность материала колеса; В – ширена колеса; d – диаметр делительной окружности колеса.

Конструктивные параметры определяются по формулам

B₁=y_dd₁₁ , d₁₂=z₁₂m_s1 , z₁₂=u₁z₁₁, d₁₁=qm_s1 ,

где В₁ – ширина червячногоколеса; y_d – коэффициент ширины; d₁₁ – диаметр червяка; d₁₂ – диаметр делительной окружности червячногоколеса; u₁ – передаточное число червячной ступени; z₁₁ – число заходов червяка; z₁₂ – число зубьев червячногоколеса; q – относительная толщина червяка; m_s1 – осевой модуль зацепления.

Обозначив: а также учитывая: В₂ = y_aa₂ и d₂₂ = u₂d₂₁ ,

первое слагаемое ЦФ имеет вид

,

а сумма второго и третьего слагаемых

где ρ₁ – плотность материала колес цилиндрической ступени; y_а – коэффициент ширины зуба; d₂₁ и d₂₂ - диаметр делительной окружности соответственно ведущего и ведомого колеса цилиндрической ступени; а₂ – межосевое расстояние цилиндрической ступени; и₂ – передаточное число цилиндрической ступени.

Из расчёта цилиндрической зубчатой передачи на контактную прочность можно записать

где е₂ = 340·10³ ; s_НР2 – допустимое контактное напряжение материала зубьев шестерни цилиндрической ступени; Т₂₁ – крутящий момент на ведущем валу цилиндрической ступени редуктора; К₂ – коэффициент нагрузки.

Момент на ведущем валу определяется по формуле

Т₂₁ = и₁h₁Т₁₁,

где Т₁₁ – крутящий момент на ведущем валу редуктора; h₁ – КПД первой ступени передачи.

Следовательно, сумма масс колеса и шестерни передачи находится из выражения

Итак, ЦФ имеет вид

где

В качестве ограничений на параметры оптимизации и₁, и₂, t и а₂ примем ограничения на контактные напряжения, возникающие в зацеплениях червячной и цилиндрической передач, и на общее передаточное число и:

Так как d₂₁ = 2а₂/(1+ и₂), то,обозначив:

С₇ = и,

получим следующие нелинейные ограничения в виде неравенств:

Таким образом, задача оптимизации двухступенчатого червячно-цилиндрического редуктора сведена к решению задачи геометрического программирования со степенью трудности задачи:

d = 7 – (4 + 1) = 2.

Соответствующая этой задаче двойственная программа состоит в максимизации двойственной функции:

где i = 1,2, . . . , 7;

k = 1, 2, 3.

В этих выражениях j = 0, 1, 2.

Условия неотрицательности на вектор r:

i = 1,2, . . . , 7.

Базисные постоянные находятся из выражения

j = 0, 1, 2,

где С_i > 0 – коэффициенты, зависящие от исходных данных.

Вектор нормализации b⁽⁰⁾ удовлетворяет условию соответственно нормализации и ортогональности:

j = 1, 2, 3, 4.

Векторы невязки b^(j) (j = 1, 2) образуют базис пространства решений однородной линейной системы:

j = 1, 2, 3, 4.

где а_ij – матрица экспонент исходной задачи геометрического программирования.

Векторы b⁽⁰⁾, b⁽¹⁾ и b⁽²⁾, найденные в результате преобразований матрицы экспонент по методу Бранда, имеют вид

Несложно проверить, что полученные векторы нормализации и невязки удовлетворяют необходимым условиям.

Следовательно, двойственные переменные находятся по формулам

d₁ = 1 – r₁ – r₂;

d₂ = -0,5 + r₁ + 0,5r₂;

d₃ = 0,5 + 0,5r₂;

d₄ = 2 – 2r₁ – 2r₂;

d₅ = r₁;

d₆ = r₂; d₇ = 1.

Значения r₁ и r₂, максимизирующие двойственную функцию, определяются из решения системы

где базисные постоянные находятся по формулам

После определения максимизирующих значений r₁ и r₂ максимальное значение двойственной функции можно найти из выражения

Это значение определяет одновременно и минимум ЦФ.

Оптимальные значения u₁, u₂, t и a₂ находятся из решения системы уравнений

Решив эту систему, получим формулы для вычисления оптимизируемых параметров

Следует отметить, что аналогичный подход можно применить для многоступенчатых редукторов и других типов, когда из рекомендуемого диапазона передаточных чисел необходимо выбрать единственное решение, минимизирующее значение ЦФ.