Двутавровая балка

Стальная призматическая балка с горизонтальной осью симметрии проектируется на сосредоточенную нагрузку, как показано на рис. 3.4.

k₂t

P y

H x

L/2 t

L

k₁h

Рис. 3.4. Схема нагружения балки и ее параметры

Балка должна иметь минимальный вес при ограничениях на изгибающие ограничения в полках и на местную потерю устойчивости полок и стенки. Из четырёх переменных, определяющих форму поперечного сечения, в качестве переменных проектирования выбираются переменные h и t, а k₁ и k₂ считаются заданными.

Ограничение на напряжение задаётся неравенством

,

где М_и – изгибающий момент.

Выражение для критического напряжения при выпучивании имеет вид ,

где Kp – коэффициент выпучивания: для полок Кр = 0,385, для стенки Кр = 3,62.

Ограничения на местную потерю устойчивости находятся из выражений:

- для полок ,

- для стенки .

Используя обозначения: , ,

, ,

определить оптимальное решение.

Для решения этой задачи используем метод Куна-Таккера. ЦФ имеет вид

f(h,t) = ρlS = ρl(2k1k2th)+ ρlht = ρlβht = Aht,

где A=ρlβ.

В данном случае ограничения находятся из выражений:

g1(h,t)=α/(ht²)-KpE(t/b)²;

g2(h,t)=α/(ht²)-1.54(k2/k1) ²(t/h)²=α/(ht²)-η(t/h)²;

g3(h,t)=α/(ht²)-21.7E(t/h)²=α/(ht²)-ν(t/h)².

Функция Лагранжа записывается в виде

L=Aht-ν1(α/(htІ)- KpE(t/b)І)-ν2(α/(htІ)-η(t/h)І)-ν3(α/(htІ)-ν(t/h)І).

¶L/¶h=At+ ν1α/tІhІ+ ν2(α/(hІtІ)-ηtІ/hі)+ν3(α/(hІtІ)-νtІ/hі);

¶L/¶t= Ah+ν1α/tіh+ ν2(α/(htі)-ηt/hІ)+ν3(α/(htі)-νt/hІ).

Проанализируем все возможные сочетания, которые могут иметь место при равенстве нулю одного из сомножителей.

1. ν1>0,ν2>0, ν3>0; g1=0, g2=0, g3=0.

2. ν1=0,ν2>0, ν3>0; g2=0, g3=0.

3. ν1>0,ν2=0, ν3>0; g1=0, g3=0.

4. ν1>0,ν2>0, ν3=0; g1=0, g2=0.

5. ν1=0,ν2=0, ν3>0; g3=0.

6. ν1=0,ν2>0, ν3=0; g2=0.

7. ν1>0,ν2=0, ν3=0; g1=0.

8. ν1=0,ν2=0, ν3=0.

При заданных параметрах нагружения и характеристик материала анализ представленных вариантов позволяет получить оптимальное решение; при этом расчет проводится аналогично задаче п. 3.1.3.