Колонна, имеющая поперечное сечение в виде кольца, должна выдерживать заданную нагрузку P (рис. 3.3). Целью оптимизации является определение R и t, которые минимизируют вес колонны при ограничении на напряжение и эйлерову силу потери устойчивости, а также при ограничениях на местное выпучивание. В предположении t<<R геометрические характеристики сечения таковы: S=2πRt и I= πR³t. Эйлерова критическая сила потери устойчивости находится по формуле
.
Осевое напряжение определяется выражением
σс=P/S=P/(2πRt).
P
R
t L
Рис. 3.3. Кольцевая колонна
Осевое критическое напряжение потери устойчивости в стальной цилиндрической оболочке σсг=kEt/R, где k-коэффициент, для стали приближенно равный 0,6. Ограничение на местную потерю устойчивости записывается в виде неравенства σс<σсг или
P - 2πkEt²<0.
Анализ выполнить при следующих исходных данных: [σc]=2·108 Па; k=0,6;
E=2·10¹¹ Па; ρ=7800 кг/м³; L=0,5 м;
P=10 000 Н.
Для решения данной задачи оптимального проектирования воспользуемся методом Куна-Таккера.
Запишем целевую функцию; по условию задачи ею является вес:
f(x)=G(R,t)=ρgSL=ρg2πRtL.
Ограничение на напряжение имеет вид
g1(x)=σc<[σc] или g1(x)=P/S-[σc]=P/(2πRt)- [σc]<0,
иначе можно записать
g1(x)=P-[σc]S=P- [σc]2πRt <0.
Ограничение на эйлерову силу потери устойчивости определяется из выражения
g2(x)=P<Pcr или g2(x)=P-π³ER³t/(4L²)<0.
Ограничение на местную потерю устойчивости (местное выпучивание) находится по формуле
Определяем частные производные функции Лагранжа по каждому из аргументов:
¶L/¶R=Ρg2πtL - ν1[σc]2πt - ν2 3π³ER²t/(4L²);
¶L/¶t=ρg2πRL+ν1[σc]2πR+ ν2 π³ER³/(4L²)+ ν34πkEt.
Составляем систему уравнений, которая включает в себя определенные выше частные производные и заданные ограничения, подставляя численные значения известных параметров:
Решением системы уравнений (3.6) являются искомые значения переменных R и t, которые минимизируют общий вес колонны. Проанализируем равенство нулю каждого из сомножителей последних трех уравнений.
При этом возможны следующие 8 вариантов.
1. ν1>0, ν2>0,ν3>0; g1(x)=0, g2(x)=0, g3(x)=0;
отсюда следует, что t=0,000115 м, тогда R=0,069 м, но при этом g2(x)=-224274,
следовательно, в этом случае нет решения.
2. ν1>0, ν2>0,ν3>0; g1(x)<0, g2(x)=0, g3(x)=0;
аналогично предыдущему случаю t=0,000115 м, R=0,024 м.
Подставив эти значения в первое уравнение системы (3.6), получим
ν2=0,00002243, а из второго уравнения следует, что ν3=0,00002213; все множители Лагранжа неотрицательны, но g1(x)=6526>0, следовательно, и этот вариант решением не является.
3. ν1>0, ν2=0,ν3>0; g1(x)=0, g2(x)<0, g3(x)=0;
так как g3(x)=0, то t=0,000115 м, а при g1(x)=0 R=0,069 м;
из первого уравнения системы (3.6) находим ν1=0,0001912, из второго ν3=0; g2(x)=-224682<0, следовательно, полученные значения R и t являются решением задачи.
4. ν1>0, ν2>0,ν3=0; g1(x)=0, g2(x)=0, g3(x)<0;
решая совместно уравнения g1(x)=0 и g2(x)=0, находим из системы R=0,014 м и t=0,00056 м; подставляя эти значения в первые два уравнения системы (3.6), находим ν1=0,0001912 и ν2=0; проверим третье ограничение: g3(x)=-225605<0, значит, получено верное решение.
5. ν1=0, ν2=0,ν3>0; g1(x)<0, g2(x)<0, g3(x)=0;
из последнего условия получаем t=0,000115 м, но тогда ¶L/¶R=27,683>0, поэтому в данном случае решения нет.
6. ν1=0, ν2>0,ν3=0; g1(x)<0, g2(x)=0, g3(x)<0;
из системы уравнений (3.6):
¶L/¶R=240304t-1.86·10¹³ ν2 R²t=0, откуда ν2=240304/(1.86·10¹³ R²) >0;
¶L/¶t=240304R-6.201·10¹² ν2 R³ =0, откуда ν2=240304/ (6.201·10¹² R² )>0;
очевидно, что полученные из разных уравнений значения ν2 неодинаковы, поэтому в данном случае решения нет.
7. ν1>0, ν2=0,ν3=0; g1(x)=0, g2(x)<0, g3(x)<0;
из первого уравнения системы (3.6) следует, что ν2=240304/1,257·10>0; второе уравнение дает аналогичный результат.
Значения R и t находятся из уравнения
g1(x)=10000 – 1,257·109 Rt=0;
следовательно, из этого уравнения можно получить зависимость
t(R)=10000/(1,257·109 R). (3.7)
Подставляя эту зависимость в третье уравнение системы (3.6), получаем
10000- 6,201·10¹² R³(10000/(1,257·109 R))<0,
откуда находим, что R>0,014 м; а подставляя зависимость (3.7) в четвертое уравнение системы (3.6), получим R<0,069 м; таким образом, допустимые значения R лежат в диапазоне от R=0,014 м до R=0,069 м, а соответствующие им значения t – в диапазоне от t=0,000115 м до t=0,000559 м.
8. ν1=0, ν2=0,ν3=0; g1(x)<0, g2(x)<0, g3(x)<0;
в этом случае ¶L/¶R =240304t≠0 и ¶L/¶t=240304R ≠0, поэтому оптимального решения не существует.
Проанализировав все 8 вариантов, можно сделать вывод, что колонна имеет минимальный вес, когда ее размеры R и t, связанные зависимостью (3.7), лежат в диапазонах R≥0,014 м, R≤0,069 м, t≥0,000115 м и t≤0,000559 м.
.
P
R
t L
Рис. 3.3. Кольцевая колонна
Осевое критическое напряжение потери устойчивости в стальной цилиндрической оболочке σсг=kEt/R, где k-коэффициент, для стали приближенно равный 0,6. Ограничение на местную потерю устойчивости записывается в виде неравенства σс<σсг или
P - 2πkEt²<0.
Анализ выполнить при следующих исходных данных: [σc]=2·108 Па; k=0,6;
E=2·10¹¹ Па; 
ρ=7800 кг/м³; L=0,5 м;
P=10 000 Н.