Цилиндрическая пружина кручения

Рис. 3.2. Цилиндрическая пружина

Для скручиваемой пружины, изображенной на рис. 3.2, в качестве ЦФ выбирается ее вес:

где N - число активных витков;Q - число неактивных витков; D - средний диаметр спирали; d - диаметр проволоки; ρ - плотность материала пружины; g- ускорение свободного падения.

Соотношение между моментом и углом закрутки имеет вид

где Θ – угол закрутки, ˚; Е - модуль Юнга.

Следовательно,

Напряжение изгиба в проволоке определяют по формуле

где К₁ - коэффициент концентрации напряжений, который находится из выражения

.

Задача заключается в том, что, используя условие Куна-Таккера, необходимо определить оптимальные параметры пружины при ограничениях на напряжения и знак величин d и D.

Функция Лагранжа имеет вид

L = f(x)+ng(x),

где ЦФ определяется по формуле f(x)=0,25p ²ρgQDd d²+π d²QρgEq d⁶ /(14680 М),

ограничение в данном случае g(x)=14,5 М /(D^0,115·d^2.885)-σmax.

Расчетная система уравнений имеет вид

¶L/¶ d=6π²ρgEq d⁵ /(14680m)+p²ρgDd/2-2,885·14,5 Мν/(D^0,115·d^3,885)=0; (3.1)

¶ L/¶ D=π²Qρgd²/4-0,115·14,5Мν/(D^1,115·d^2,885)=0. (3.2)

Анализ показывает, что если ν=0, то из уравнения (3.2) d=0, что противоречит постановке задачи. Следовательно , g(x)=0, поэтому

14,5М/(D^0,115·d^2,885)= σmax. 3.3)

Итак, получена система трех уравнений (3.1),(3.2) и (3.3) с тремя неизвестными D, d и ν. Для ее решения сначала умножим уравнение (3.1) на 0,115d, а (3.2) уравнение - на (-2,885D) и сложим их, тем самым исключив ν. Из полученного уравнения

0,69 π²QρgEqd⁶/14680 – 2,655p²ρgQDdІ/4=0

выразим D: D=7,081·10^-5 Eqd⁴/(μQ) , (3.4)

полученное выражение подставим в (3.3):

0,3332(Eq/ μQ)^0,115·d^3,345=14,5μ/ σmax. (3.5)

Окончательно получим

d=( μQ/ Eq)^0,03438·(43,517μ/ σmax)^0,299.

Внешний диаметр пружины D можно выразить из формулы (3.4):

D=7,9·10^-3(Eq/ μQ)^0,8625·(μ/ σmax)^1,196.

Следовательно, совместное применение формул по курсу «Детали машин» и метода оптимизации позволило получить аналитические выражения для параметров пружины, минимизируюших ее вес.