Каноническое уравнение имеет вид 
.
1) Находим линию пересечения с плоскостью 
.
Решаем систему уравнений
  
|
- это уравнение мнимого
эллипса.
|
Следовательно, с плоскостью нет общих точек.
2) Находим линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости : 
а) Решаем систему уравнений 
- это уравнение мнимого эллипса, так как 
.
б) Решаем систему уравнений
.
Получим точки 
и 
.
в) Решаем систему уравнений
;
- это уравнение эллипса, с полуосями 
и 
.
2) Находим линию пересечения с плоскостью 
.
Решаем систему уравнений 
- это уравнение гиперболы,
где 
-действительная полуось,
а 
- мнимая полуось.
3) Находим линию пересечения с плоскостью 
.
Решаем систему уравнений
- это уравнение гиперболы,
где - действительная полуось, а 
- мнимая полуось.
Двуполостный гиперболоид - это две чаши с вершинами в точках 
и 
, которые бесконечно расширяются по мере удаления от плоскости .
, и - полуоси гиперболы. Полуоси и увидим, если построим основные прямоугольники обеих гипербол.
