Метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных методов решения алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система уравнений:

На первом этапе (прямой ход) систему уравнений приводим к ступенчатому (в частном случае, когда , к треугольному ) виду с помощью элементарных преобразований.

На втором этапе ( обратный ход) последовательно определяем значения переменных из полученной ступенчатой системы.

Если ступенчатая система окажется треугольной, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим значение , из предпоследнего - , и далее, поднимаясь по системе вверх, найдем значения всех остальных переменных .

Если в результате элементарных преобразований появляются уравнения , то их вычеркиваем. Если же появляется уравнение , то это свидетельствует о несовместности системы.

Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над строками.

Удобно, чтобы коэффициент был равен . Для этого можно переставить уравнения системы либо разделить обе части первого уравнения на .

Пример 1.Решить систему уравнений методом Гаусса

¦ Прямой ход.

1. Выберем «ведущим» третье уравнение и запишем его на первое место.

2. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования над ее строками:

~	~
первую строку перепишем, а вторую и третью заменим суммой с первой, умноженной соответственно на и на ;	разделим вторую строку на .
~	~
первую и вторую строки перепишем, а третью заменим суммой ее со второй , умноженной на ;	из этой матрицы запишем систему треугольного вида.