Основные понятия

Системы m линейных уравнений с n переменными имеют вид:

( 1 )

где , - - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными (или эквивалентными) если они имеют одно и то же множество решений.

Равносильность систем не нарушается при следующих элементарных преобразованиях:

1) перемена местами уравнений;

2) умножение обеих частей уравнения на число ;

3) удаление из системы уравнения ;

4) прибавление к обеим частям какого - либо уравнения соответствующих частей другого уравнения этой же системы, предварительно умноженных на любое число.

Запишем матрицы:

, , .

- матрица системы, состоящая из коэффициентов при переменных,

- матрица-столбец переменных,

- матрица- столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение есть матрица-столбец:

.

Элементами полученной матрицы являются левые части уравнений системы (1).

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в следующем виде:

- это матричный вид системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей.

- расширенная матрица системы (1)

5.2. Системы n линейных уравнений с n переменными.