Основы теории оптимизации.

Область работоспособности, область Парето, целевая функция.

Параметрическая оптимизация (ПОпт) – процедура определения значений внутренних параметров проектируемого объекта заданной структуры, при которых достигается наилучшее сочетание его свойств.

ПОпт включает: конкретизацию и формализацию понятий наилучшее сочетание, наилучший вариант, т.е. переход от исходной неформальной постановки задачи, выражающих пожелания относительно его свойств к математической постановке.

☻ extr F(x) XD ={X φ (x)>0; ψ(x) = 0}

х € XD

F(x) – целевая функция

х – вектор управляемых и проектных параметров

φ (x); ψ(x) – функции ограничения

XD – допустимая область в пространстве управляемых параметров (температура теста, клейковина).

Т. о для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо:

1. сформулировать задачу в виде ☻

2. решить задачу поиска экстремума

Стр 98 Медведев

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обуславливает наличие у объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче целевая функция должна быть одна, поэтому проектные задачи являются многокритериальными и возможны проблемы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Рисунок: двумерное пространство выходных параметров:Y₁ Y₂ для которых заданы условия работоспособности: Y₁<T₁, Y₂<T₂ ,АВ – граница достижимых значений выходных параметров

Область в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности называется областью работоспособности.

Множество точек пространства выходных параметров без которых невозможно перемещение, приводящие к улучшению всех выходных параметров называется областью компромиссов или Парето.

Целевая функция (пример: скорость, вес, габариты, КПД, прочность). Эта функция характеризует изменение выходных параметров, рассматриваемых при проектировании и оптимизации.

ЦФ может быть даже в численной форме, в понятиях да или нет. В ряде задач оптимизация требует введения более одной целевой функции.

При трех и более проектных параметров поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению.

Топологические свойства поверхности ЦФ играют большую роль в процессе оптимизации, т. к. от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Введение боле одной функции приводит к тому, что они могут быть несовместимы.

Пример: проектирование самолета: одновременно требуется обеспечить макс. прочность, мин. вес, мин. стоимость.

В результате появляется функция компромисса, позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функции.

Примерцелевой функции:

Зависимость предела прочности и пластичности сырых макаронных изделий от продолжительности замеса теста влажностью:

1 - 30% 3 - 31%

2 - 30.5% 4 - 31.5%