Методика получения ММ элементов (ММЭ).

На каждом иерархическом уровне проектировщики различают понятия

ММС (системы) и ММЭ (элементов).

Элементарная база любого класса систем состоит из небольшого числа типов элементов, для которых заранее разрабатывается ММЭ и заносится в соответствующую библиотеку моделей.

Число систем, создаваемых на заданной элементарной базе может быть большим и для каждого исследуемого варианта каждой проектируемой системы нужно иметь свою ММС.

Библиотека ММЭ для определенной предметной области создается однократно и далее пополняется по мере появления элементов нового типа или потребности улучшения.

Общая методика получения ММЭ включает в себя выполнение процедур:

1. Определение свойств объектов, которые должна содержать модель. Включение в перечень свойств, оценка которых не требуется для принятия проектных решений; приводит к усложнению модели.

Пример: в производстве макаронных изделий для процедур функционального проектирования ММ должны адекватно отражать свойства теста: влажность, упругость, клейковину, но излишне включать в нее оценку таких свойств как, вязкость, пластичность.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Используются знания о законностях функционирования объекта, справочные данные, планируются эксперименты.

3. Получение структуры модели, т.е. математических выражений и уравнений, описывающих в общем виде отношения между различными переменными и параметрами объекта. Структуру модели можно представить и в графической форме, например, в виде эквивалентной схемы или графика. Этот тип самый сложный.

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности заданной структуры.

min Е_M (x) x € XD

х – вектор, XD – область, Е_M (x) – функция

Известно значение выходных параметров y_{i ист} (истинное) и необходимо выбрать значения выходных параметров y_{i m} , полученные на основе моделирования были максимально приближены к значениям y_{i ист}

Е_M – это норма вектора относительных погрешностей

XD – область значений внутренних параметров

5. Оценка точности и адекватности модели. Точность определяется в некоторой тестовой ситуации, характеризуемой заданными значениями внешних переменных q_k и известными y_{i ист}.

Но оценка точности, полученной в одной и нескольких точках пространства Q=(q₁, q₂….q_i ) внешних переменных не дают полных сведений о возможности применения модели в других точках пространства.

Эти сведения можно получить при построении области адекватности модели.

Область адекватности – это область пространства Q_n в пределах которой погрешность ε_м модели не превышает заданное значение.

Определение и представление области адекватности, как области с нелинейными границами в многомерном пространстве требует значительных вычислительных ресурсов. Поэтому вместо истинной области адекватности используют аппроксимированную область адекватности.

Пример: двухмерная аппроксимация

Лекция №8.

Численные методы одновариантного анализа САПР.

Анализ состоит в изучении свойств и поведения проектных вариантов, полученных в результате проектирования (синтеза).

В процессе анализа устанавливают значения конструктивно – технологических и технико-экономических критериев (параметров), которые позволяют сравнивать проектируемые варианты между собой.

При одновременном анализе при заданных значениях внутренних и внешних переменных требуется определить значения выходных параметров объектов.

При решении задач полезно использовать геометрическую интерполяцию. При одновариантном анализе задается некоторая точка в пространстве внутренних параметров, в которых требуется определить значения выходных параметров.

Подобная задача обычно сводится к однократному решению уравнений, составляющих математическую модель, что и обуславливает название этого вида анализа.

Большинство задач ОА сводятся к решению систем ЛАУ : АХ=В. Поэтому важно выбрать метод и обработать алгоритм для их решения.

Численные методы решения систем делятся на итерационные и прямые (точные).

Итерационные – просты в реализации, применяются для решения задач сверх высокой размерности, когда число неизвестных меняется от нескольких тысяч до миллионов. Такие задачи возникают при численном решении уравнений в ЧП для трехмерного случая.

Итерационные методы применяются для уточнения решений, полученных прямыми методами, если на результатах сказываются ошибки округления.

Основу итерационных методов составляют линейные стационарные методы первого порядка:

Х_К+1 = НХ_К + С

К=0,1,2… - номер итерации

Н – итерационная матрица

С –известный вектор

Основные характеристики итерационного метода: сходимость итерации и скорость сходимости.

В зависимости от выбора матрицы Н и вектора С получают различные итерационные методы.

Основные итерационные методы:

Метод простой итерации. Якоби, Гаусса-Зейделя, релаксационные.

Многовариантный анализ.

Заключается в исследовании свойств объекта в некоторой области пространства внутренних параметров и требует многократного решения системы уравнений.

К типовым процедурам МА относят анализ чувствительности и статистический.

Анализ чувствительности: сводится к определению коэффициента чувствительности выходных параметров У моделируемого объекта к изменению внутренних Х или внешних Q параметров.

Коэффициент чувствительности бывает абсолютный и относительный.

Пример: см. Медведев стр 98

Статистический анализ: сводится к определению основных статистических характеристик выходных параметров проектируемого объекта: плотность распределения этих параметров, математических ожиданий (номинальных значений), СКО (дисперсия).

Исходными данными для статического анализа являются: технические требования на выходные параметры, предельно допустимые отклонения внешних параметров, сведения о законах распределения внутренних параметров.

Для определения разброса выходных параметров объекта относительно номинальных значений применяются метод наихудшего случая: Q→Y и вероятностные методы X→Y.

Метод наихудшего случая (МНС) – для оценки влияния изменений внешних параметров на разброс выходных, т.е. правильное функционирование должно обеспечиваться при любых значениях внешних параметров внутри заданного диапазона.

Вероятностный метод (ВМ) оценивает влияние случайного разброса значений внутренних параметров на разброс выходных.

В отношении внутренних параметров ориентация на наихудший случай приводит к неоправданно жестким требованиям, к диапазону их изменений, т.к. вероятность возникновения наихудшего случая крайне мала и реальный разброс выходных параметров намного меньше, чем предсказанный для наихудшего сочетания внутренних параметров с учетом их разброса.

Метод наихудшего случая (МНС). В качестве исходных данных указывается максимально возможное отклонение Δq_i элементов внешних параметров Q от номинальных значений. Эта информация всегда имеется в техническом задании на проектировании.

Вероятностные методы используются во всех программных средствах. Исходные данные – условия работоспособности по всем выходным параметрам Y, законы распределения вероятности внутренних параметров Х, представленные в любом виде: аналитическом, гистограммы, таблицы результатов измерений.

Статистические связи внутренних параметров задаются коэффициентом корреляции, вычисленных на основании результатов измерения этих параметров.

Для получения этих данных выполняются экспериментальные измерения. Наибольшее распространение получили вероятностные методы: аналитический и численный. Они основаны на методе Монте – Карло (метод статических ?)

Метод Монте – Карло основан на многократном моделировании (n раз) числовых значений вектора Х для m случайных внутренних параметров X_i и вычисления для каждой конкретной реализации всех соответствующих значений всех выходных параметров Y.