Примечание 1

Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах графики и геометрического моделирования используются параметрически задаваемые кубические кривые

(1)

где . Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т.е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (1).

Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае модели Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае B-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т.е. первой и второй производных) в концевых точках сегментов. Использование сплайнов обеспечивает высокую степень "гладкости" кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления "волнистости".

В случае формы Безье коэффициенты в (1) определяются, во-первых, подстановкой в (1) значений и и координат заданных концевых точек и соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных



тех же значений и и координат точек и , задающих направления касательных векторов (рис. 1). В результате для формы Безье получаем

(2)

где — вектор-строка, матрица представлена в табл. 1, — вектор координат точек , , и , аналогично , — векторы координат , тех же точек.

Таблица 1

Рис. 1. Кривая Безье

В случае B-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на участков, выделяемых последовательными точками . Участок между парой соседних точек и аппроксимируется B-сплайном, построенным с использованием четырех точек . B-сплайн на участке может быть представлен выражениями, аналогичными (2),



для которых матрица имеет иной вид и представлена в табл. 2, а векторы , , содержат соответствующие координаты точек