Критерии оптимальности

Одним из важных приложений теории и методов оптимизации является проектирование технических объектов. Поэтому в системах автоматизированного проектирования вопросам оптимизации уделяется значительное внимание.

Процедуры параметрического синтеза в САПР выполняются либо человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры и нужно найти номинальные значения проектных параметров , к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования

(1)

где — целевая функция, — вектор управляемых (проектных) параметров, и — функции-ограничения, — допустимая область в пространстве управляемых параметров. Запись (1) интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (1), во-вторых, решить задачу поиска экстремума .

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи (1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 1).

Рис. 1. Области Парето и работоспособности

На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных параметров и , для которых заданы условия работоспособности и . Кривая является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют областью работоспособности. Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшению всех выходных параметров, называют областью компромиссов, или областью Парето. Участок кривой (см. рис. 1) относится к области Парето.

Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 1 выбрать параметр , то результатом оптимизации будут параметры , соответствующие точке . Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде

где — уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т.е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран параметр , — оптимизация приведет в точку .

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев

(2)

где — весовой коэффициент, — число выходных параметров. Функция (2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид , то .

Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (2) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

(3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности -го выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра и этот запас можно рассматривать как нормированный -й выходной параметр. Например (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме ):

или

где — номинальное значение, а — некоторая характеристика рассеяния -го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть

Здесь запись означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до . Задача (1) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом:

(4)

где допустимая область определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры :