Прямая и плоскость

149.Найти угол прямой y = 3x – 1 , 2z = – 3x + 2 с плоскостью

2x + y + z – 4 = 0.

150.Показать, что прямая параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а прямая лежит в этой плоскости.

151.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (–1, 2, –3), перпендикулярно к прямой x = 2, y – z = 1.

152.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку (3, 4, 0).

153.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

,

перпендикулярно к плоскости 2x + 3y – z = 4.

154.Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

155.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4y = 3x, y = 0 и z = 0. Найти эти углы.

156.Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t с плоскостью 3x – 2y + z = 3.

157.Найти точку пересечения прямой с плоскостью x + 2y + 3z – 29 = 0.

158.Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 =0.

159.Найти проекцию точки (2, 3, 4) на прямую x = y = z.

160.Найти кратчайшее расстояние d между непараллельными прямыми: и ; и ;

Указание.Предполагая прямые в общем случае скрещивающимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они расположены. Из точек А(a, b, c) и А₁(a₁, b₁, c₁)проведем векторы = = { m; n; p} и = ₁ = ₁{ m₁; n₁; p₁}. Высота призмы ABCA₁B₁C₁ и равна искомому расстоянию.

161.Показать, что прямые x = z – 2, y = 2z + 1 и

пересекаются, и написать уравнение плоскости, в которой они расположены.

162.Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (2, 1, 0) на прямую x = 3z – 1, y = 2z.

163.Построить плоскость x + y – z = 0 и прямую, проходящую через точки A(0, 0, 4) и B(2, 2, 0). Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

164.Построить плоскость y = z, прямую x = – z + 1, y = 2 и найти: 1) точку их пересечения; 2) угол между ними.

165.Найти проекцию точки (3, 1, – 1) на плоскость 3x + y + z – 20 = 0.

166.Найти проекцию точки (1, 2, 8) на прямую .

167.Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .

168.Показать, что прямые и x = 3z – 4, y = z + 2 пересекаются, найти точку их пересечения.

169.Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1, 0, – 1) на прямую .

170.Найти кратчайшее расстояние между прямыми x = – 2y = z и x = y = 2.

171.Доказать, что прямая x = 3t – 2, y = – 4t + 1, z = 4t – 5 параллельна плоскости 4x – 3y – 6z – 5 = 0.

172.Доказать, что прямая лежит в плоскости

4x – 3y + 7z – 7 = 0.

173.Найти точку пересечения прямой и плоскости:

1) , 2x + 3y + z – 1 = 0;

2) , x – 2y + z – 15 = 0;

3) , x + 2y – 2z + 6 = 0.

174.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2, – 4, – 1) и середину отрезка прямой

заключенного между плоскостями 5x + 3y – 4z + 11 = 0, 5x + 3y – 4z – 41 = 0.

175.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (2, – 3, –5) перпендикулярно к плоскости 6x – 3y – 5z + 2 = 0.

176.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (1, –1, –1) перпендикулярно к прямой .

177.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (1, – 2, 1) перпендикулярно к прямой

178.При каких значениях A и D прямая x = 3 + 4t, y = 1 – 4t, z = – 3 + t лежит в плоскости A x + 2y – 4z + D = 0 ?

179.При каких значениях A и B плоскость A x + By + 3z – 5 = 0 перпендикулярна к прямой x = 3 + 2t, y = 5 – 3t, z = – 2 – 2t ?

180.При каких значениях l C прямая перпендикулярна к плоскости 3x – 2y + Cz + 1 = 0 ?

181.Найти проекцию точки P(2, –1, 3) на прямую x = 3t, y = 5t – 7, z = 2t + 2.

182.Найти точку Q, симметричную точке P(4, 1, 6) относительно прямой

183.Найти точку Q, симметричную точке P(2, –5, 7) относительно прямой, проходящей через точки M₁(5, 4, 6) и M₂(–2, –17, -8).

184.Найти проекцию точки P(5, 2, –1) на плоскость 2x – y + 3z + 23 = 0.

185.Найти точку Q, симметричную точке P(1, 3, – 4) относительно плоскости 3x + y – 2z = 0.

186.Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые , .

187.Найти проекцию точки C(3, –4, –2) на плоскость, проходящую через параллельные прямые , .

188.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x = 3t + 1, y = 2t + 3, z = – t – 2 параллельно прямой

189.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно к плоскости 3x + 2y – z – 5 = 0.

190.Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку M₀(3, –2, –4) параллельно плоскости 3x – 2y – 3z – 7 = 0 и пересекает прямую .

191.Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям 3x + 12y – 3z – 5 = 0, 3x – 4y + 9z + 7 = 0 и пересекает прямые , .

192.Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

1) ; ;

2) x = 2t – 4, y = – t + 4, z = – 2t – 1; x = 4t – 5, y = – 3t + 5,

z = – 5t + 5;

3) ; x = 6t + 9, y = – 2t, z = – t + 2.

ОТВЕТЫ