Теорема: Разложение вектора по базису.
Пусть (l1,l2)-базис по плоскости, тогда любой вектор а той же плоскости можно единственным образом представить в виде
, где x1, x2- числа.
10Доказательство: Через точку А проведем прямые параллельные l1,l2. Продолжим вектора до перечисления с прямыми.
M1 A
0
l2 M2
║ 
Û ║ 
коллинеарные, отличаются на x.
║ 
Û ║ 
По правилу параллелограмма:
.
Вектор разложен по базису (l1,l2).
20. Докажем единственность.
Предположим, что равен двум размеченным линейным комбинациям в одном базисе.
(1),
(2).
Вычитаем равенства (1) и (2) почленно.
(3)
Так как базисные вектора линейно независимы, то коэффициенты в равенстве (3) равны 0.
,
Þ 
, 
.
То есть линейное представление вектора в базисе 
единственно.
Аналогично, для базиса в пространстве 
. Любой вектор можно единственным образом представить в виде:
–разложение по базису .(*)
Числа x1,x2,x3однозначно определяемые равенством (*) называют координатами
вектора в базисе .
Свойства координат вектора:
10. Пусть даны и 
. Их запись.
или 
;
или 
.
в векторной форме по базису. в координатной.
20. При сложении (вычитании) двух векторов складываются (вычитаются) их одноименные координаты.
.
30. Два вектора равны, если равны их одноименные координаты.
Û 
40. 
При умножении вектора на число, которое его координата умножается на это число.
