Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не изменится при круговой перестановке векторов .
2. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный .
3. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения .
4. Смешанное произведение ненулевых векторов , , равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы , , . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

Полученную формулу можно записать короче: , так как правая часть представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Определение: Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Приложения смешанного произведения