Смешанное произведение трех векторов

Определение.Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется сочетание векторного и скалярного произведений (a ´ b)c.

Геометрический смысл произведения: с точностью до знака равно объему параллепипеда (V₁) или треугольной пирамиды (V₂), построенного на этих векторах

V₁ = (a ´ b)c = |(a ´ b)||c|cos , V₂ = 1/6(a ´ b)c. (18)

Здесь |(a ´ b)| – площадь основания, а |c|cos – высота параллепипеда.

Условие компланарности трех векторов:

(a ´ b)c = 0 (19)

т.к. объем параллепипеда, построенного на трех векторах лежащих в одной плоскости, равен 0.

Свойства произведения.

1⁰. (a ´ b)c = a(b ´ c) (это объемы одного и того же параллепипеда). Дает возможность ввести обозначение

abc (a ´ b)c.

2⁰. При перестановке двух векторов знак произведения меняется на противоположный:

abc = –bаc.

3⁰. Циклическая перестановка векторов знак не меняет

abc = bca = cab.

Выразим смешанное произведение abc через координаты векторов

a= {a_x, a_y, a_z}, b = {b_x, b_y, b_z}, c = {c_x, c_y, c_z}

с учетом формул (16), (8)

(a ´ b)c = – j + =

= c_x – c_y + c_z = . (20)

Из полученного определителя сразу следуют все общие свойства смешанного произведения: координаты всех трех векторов входят симметрично; перестановка соседних векторов меняет знак произведения, а циклическая перестановка не меняет знака.

Решение типичных задач

Пример 7. Пусть |a| = 2, |b| = 3, (a^ b) = . Найти произведение
(3a – b)(a + 2b).

Решение. Раскроем скобки, т.к. аа = |a|²cos0 = |a|² и cos = ½, то имеем

(3a – b)(a + 2b) = 3aa + 6ab – ba – 2bb = 3|a|² – 2|b|² + 5ab = 3|a|² – 2|b|² +

+ 5|a||b|cos(a^ b) = 12 – 18 + 15 = 9.

Пример 8. Дано: a = 2i – 3j + k, b = i + 2j – 3k.Найти скалярное произведение векторов c = 2a – b и d = –3a + 2b.

Решение. Вычислим координаты векторов с и d:

c = 2a – b = 2{2; –3; 1} – {1; 2; –3} = {4 – 1; –6 – 2; 2 + 3} = {3; –8; 5},

d = –3a + 2b = –3{2; –3; 1} + 2{1; 2; –3} = {–6 + 2; 9 + 4; –3 – 6} = {–4; 13; –9}.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

cd = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 3(–4) + (–8)13 + 5(–9) = –116.

Пример 9. Найти угол между векторами a = 2m + 4n, b = m – n, если
|m| = |n| = 1, а угол (m^ n) = 120⁰.

Решение. Имеем формулу cos(a^ b) = ab / |a||b|.

Произведение ab сведем к произведениям векторов m и n:

ab = (2m + 4n) ( m – n) = 2m² – 2mn + 4mn – 4n² = 2|m|² – 4|n|² + 2mn =

= 2 – 4 + (2cos120⁰) = –3.

Представим модуль вектора a как квадратный корень от скалярного произведения aнаa:

|a| = = =

= = = ,

|b| = = = = .

cos(a^ b) = ab / |a||b| = = –½.

Ответ: = arccos(–1/2) = 120°_.

Пример 10. Даны вершины треугольника A(1, 2, 4), B(4, –2, 0), C(3, –2, 1). Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Определим вектора , и найдем угол между ними.

= {4 – 1, –2 – 2, 0 – 4} = {3; –4; –4},

= {3 –1, –2 – 2, 1 – 4} = {2; –4; –3},

cos( ^ ) = =

= = .

Пример 11. Вычислить, какую работу производит сила F = {4; –2; 1}, когда её точка приложения прямолинейно перемещается из А(4, 3, –1) в
B(3, –2, –3).

Решение. Работа равна скалярному произведению вектора силы F на вектор = {3 – 4;–2 – 3;–3 + 1} = {–1; –5; –2}: E = F = 4(–1) + (–2)(–5) + + 1(–2) = 4.

Пример 12. Даны точки А(2, 3, –1) и B(3, –2, –1). Вычислить проекцию вектора а = {1; –2; 3} на ось вектора .

Решение. Ось определяет вектор = {3 – 2; –2 – 3; –1 – 1} = {1; –5; –2}, а проекцию вектора а на формула

= = = = .

Пример 13. Даны вектора a = 3j, b = i + j. Построить вектор c = a ´ b.

Модули векторов |a| = 3, |b| = = , cos = ab / |a||b| = 3 / 3 = 1 / , т.е. = 45°,
|c| = |a||b|sin45° = 3. Вектора aи bлежат в плоскости хОу и направление c обратно вектору k, т.е. c = a ´ b = –3k.

Пример 14. Пусть а b, |a| = 2, |b| = 3. Найти |(2a – b) ´ (a – 3b)|.

Решение. Раскроем скобки и учтем, что

а ´ а = 0, b ´ b = 0, а ´ b = –b ´ а,

(2a – b) ´ (a – 3b) = 2(a ´ a) – 6(а ´ b) – (b ´ а) + 3(b ´ b) = –5(a ´ b),

|(2a – b) ´ (a – 3b)| = |–5(a ´ b)| = 5|a||b|sin90° = 5(2)(3)1 = 30.

Пример 15. Даны вектора a = i + j – 3k, b = 2i + k. Найти (a – 2b) ´ (3a + b).

Решение. Найдем координаты векторов

a – 2b = {1 – 4; 1 – 0; –3 – 2} = {–3; 1; –5},

3a + b = {3 + 2; 3 + 0; –9 + 1} = {5; 3; –8}

и вычислим определитель 3-го порядка

(a – 2b) ´ (3a + b) =

= = i – j + k = 7i – j – 14k.

Пример 16. Найти площадь треугольника S построенного на векторах
a – 2b и 3a + 2b, если |a| = |b| = 5, (a^b) = 45°.

Решение. Площадь определим через векторное произведение

S = ½|(a – 2b) ´ (a + 2b)|.

Само произведение можно упростить

(a – 2b) ´ (3a + 2b) = 3(a ´ a) + 2(a ´ b) – 6(b ´ a) – 4(b ´ b) = 8(a ´ b),

т.к. векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю и
a ´ b = –b ´ a. Вычислим модуль полученного вектора

8|a´ b| = 8|a||b|sin45° = (8 5 5 )/2 = 100 .

Ответ: S = 100 / 2 = 50 кв.ед.

Пример 17. Найти площадь треугольника с вершинами А(–1, 0, 1),
В(1, 2, 0), С(1, 1, 1) и высоту BD.

Решение. Треугольник построен на векторах = {2, 2, –1} и
= {2, 1, 0} и его площадь S = | ´ | / 2. | | = = .

´ = = i – 2j – 2k.

Отсюда S = (1/2) = 3 / 2.

Но или BD = 2S / | | = 3 / .

Пример 18. Доказать тождество (a + 2b – c)[(a – b) ´ (a – b – c)] = 3abc.

Решение. Второй вектор в квадратных скобках представим как сумму двух векторов (a – b – c) = (a – b) – cи учтем, что векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю. В результате [(a – b) ´ (a – b – c)] = = (a – b) ´ (–c) = –a´ c + b ´ c. Смешанное произведение теперь распадается на сумму шести слагаемыхaac + abc – 2bac + 2bbc + cac – cbc.

Исключим члены с совпадающими векторами, учтем равенство
bac = –abc, и окончательно получим для левой части тождества3abc.

Пример 19. На векторах a = i + j – k, b = 2i + k, c = j – 2k построить параллепипед. Найти его объем.

abс = = = a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂ + a₃₂A₃₂ = –1 = 1.

Пример 20. Даны четыре точки А(2; –1; –2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 0), D(5; 0; –6).

Определить лежат ли эти точки в одной плоскости?

Решение. Построим три вектора = {–1; 3; 3}, = {0; 4; 2},
= {3; 1; –4}. Проверим условие их компланарности (19)

= = 0.

Оно выполняется. Значит все принадлежащие компланарным векторамточки, включая A, B, C, D, лежат в одной плоскости.

Пример 21. Показать, что векторы a = i + j + 4k, b = i – 2j, c = 3i – 3j + 4k компланарны и найти линейную зависимость между ними.

Решение. Проверим условие компланарности трех векторов (19)

abc = = 0.

Оно выполняется. Определим линейную зависимость a, b, c. Для этого представим а как линейную комбинацию остальных векторов a = xb + ycи вычислим коэффициенты x, у. Детально распишем это равенство

i + j + 4k = x(i – 2j) + y(3i – 3j + 4k) = (x + 3y)i + (–2x – 3y)j + 4yk.

Из равенства векторов следует равенство их координат, что приводит к системе трех уравнений для двух неизвестных х и у.

x + 3y = 1 Из 3-го уравнения получаем y = 1, а из 1-го x = –2.

–2x – 3y = 1 Эти решения удовлетворяют и 2-му уравнению (1 = 1).

4y = 4 Значит система не противоречива, имеет единственное решение и условие линейной независимости векторов принимает вид: a + 2b – c = 0.