Векторное произведение

Определение. Векторным произведением векторов aиbназывается третий вектор с, который:

1) c a, c b;

2) |c| = |a||b|sin , (a^b);

3) векторы a, b, c образуют правую тройку, т.е. кратчайшее вращение от aк bидет против часовой стрелки при взгляде навстречу с.

Обозначения векторного произведения c = a ´ b = [ab].

Геометрический смысл произведения: модуль векторного произведения определяет площади параллелограмма (S₁) и треугольника (S₂), построенных на векторах a и b

S₁ = |a ´ b| = |a||b|sin , S₂ = ½|a ´ b|. (13)

Здесь |a| – основание, а |b|sin – высота параллелограмма.

Условие a || b: т.е. коллинеарность а = kb: a ´ b = 0.

Следствие:

а ´ а = 0. (14)

Момент силы F приложенный к точке А относительно точки О равен векторному произведению F и :

М₀ = ´ F. (15)

Свойства векторного произведения

1⁰. Антипереместительный закон a ´ b = –b ´ a.

2⁰. Сочетательный закон k(a) ´ b = k(a ´ b).

3⁰. Распределительный закон a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c.

Векторные произведения орт подчиняются правилам:

i ´ i = j ´ j = k ´ k = 0, i ´ j = k, j ´ k = i, k ´ i = j.

Координатное представление векторного произведения: вектора
a = {a_x, a_y, a_z}, b = {b_x, b_y, b_z} разложим по ортам и перемножим векторно

a ´ b = (a_xi + a_yj + a_zk)(b_xi + b_yj + b_zk) =

= a_x b_yk – a_xb_zj – a_yb_xk + a_zb_xj + a_yb_zi – a_zb_yi =

= (a_yb_z – a_zb_y)i – (a_xb_z – a_zb_x)j + (a_xb_y – a_yb_x)k =

= i – j + k . (16)

Последнюю формулу можно представить как разложение определителя 3-го порядка

a ´ b = . (17)