Прямоугольная система координат

Определение. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки О и ортонормированного базиса i, j, k. Орты i, j, kимеют единичную длину, взаимно перпендикулярны и определяют направление осей X, Y, Z.

Координатами точки М называются проекции точки на оси координат. М(x, y, z). Точке М в пространстве соответствует радиус-вектор , координаты которого совпадают с координатами точки М

= xi + yj + zk = {x, y, z}. (1)

Длина – это длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, которая равна

| | = . (2)

Пусть точка А(х₁, y₁, z₁) – начало, а В(х₂, y₂, z₂ ) – конец вектора, тогда

= = {x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁} (3)

т.е. координаты конца минус координаты начала,

| | = u. (4)

Геометрический смысл координат вектора – проекции вектора на оси координат.

Определение. Направляющими косинусами вектора а называются косинусы углов между вектором и осями координат. Они равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю

cos = cos(a^ i) = (x₂ – x₁) / u;

cos = cos(a^ j) = (y₂ – y₁) / u;

cos = cos(a^ k) = (z₂ – z₁) / u,

причем,

cos² + cos² + cos² = [(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²] / u² = 1. (5)

Если координаты любого вектора а разделить на его модуль |a|, то получим вектор единичной длины и его координаты будут численно равны направляющим косинусам:

a / |a| = {cos ; cos ; cos } = {a_x; a_y; a_z}. (6)

Решение типичных задач

Пример 1. Построить точку М(2, 1, –2) и определить длину и направление её радиус-вектора.

Решение. = {2; 1; –2} = 2i + j – 2k.

| | = = 3;

cos = = ;

cos = = ;

cos = = .

Пример 2. Даны координаты 3 точек А(1, –3, –3), В(2, 1, 2), C(1, 5, 1). Найти координаты векторов , , 2 + 3 , их модули и направляющие косинусы.

Решение.

= {x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A} = {2 – 1; 1 + 3; 2 + 3} = {1; 4; 5} = {x₁; y₁; z₁}.

= {x_С – x_A; y_C – y_A; z_C – z_A} = {1 – 1; 5 + 3; 1 + 3} = {0;8;4} = {x₂; y₂; z₂}.

2 + 3 = {2x₁ + 3x₂; 2y₁ + 3y₂; 2z₁ + 3z₂} =

= {2*1 + 3*0; 2*4 + 3*8; 2*5 + 3*4} = {2; 32; 22}.

| | = = = .

| | = = = .

Направляющие косинусы вектора :

= , = , = .

Для вектора :

= , = , = .

Пример 3. Даны три вектора на плоскости a = {2; 1}, b = {3; –2},
c = {1; 3}. Определить разложение каждого из них, принимая в качестве базиса остальные два вектора.

Решение. Представим а как линейную комбинацию b и с: a = xb + yc, где x, y – неизвестные коэффициенты. Из равенства векторов 2i + j =
= x(3i – 2j) + y(i + 3j) следуют два равенства для их координат, которые образуют систему двух линейных уравнений для х и у: .

Решение по методу Крамера:

= = 11, = = 5, = = 7,

х = = , у = = .

Ответ. a = b + c или а = .

Условие линейной зависимости векторов: 11a – 5b – 7c = 0. Отсюда следует:

b = a – c или b = ; c = a – b или c = ,

при выборе соответствующих базисов.

Пример 4. Даны три вектора a = {3; 1; 2}, b = {–1; 2; 4}, с = {2; –1; 3}. Найти разложение вектора m = {2; 3; 4} по базису a, b, c.

Решение. Запишем m как линейную комбинацию a, b, с:

m = xa + yb + zc,

где x, y, z – неизвестные коэффициенты.

Из равенства векторов

2i + 3j + 4k = x(3i + j +2k) + y(–i + 2j + 3k) + z(2i – j + 3k)

следуют три равенства для их координат, которые образуют систему трех линейных уравнений для x, y, z: . Решим систему методом Крамера.

; ;

;

х = = , у = = , z = = ,

или

m = a + b + c.

Условие линейной зависимости 4-х векторов: 30m – 23a – 25b + 7c = 0.

Пример 5. Пусть в некотором базисе a = { ; 1; 2}, b = {3; ; 4}. Найти , , при которых а, b коллинеарны.

Решение. Условие коллинеарности:

а = kb или a_x = kb_x, a_y = kb_y, a = kb_z.

В нашем случае

k = = 3½ = , = 2.

Пример 6. Определить координаты точки М, если её радиус-векторсоставляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

Решение. При равенстве = = из соотношения cos² + cos² +
+ cos² =1 следует cos = и х = y = z = | |cos = .

Ответ. М( , , ).

Скалярное произведение векторов

Определение.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

ab = |a||b|cos . (7)

Из рисунка следует |b|cos = пр_abи, следовательно,

ab = |a||b|cos = |a|пр_ab = |b|пр_ba.

Свойства скалярного произведения

1⁰. ab = ba – переместительный закон.