Базис на плоскости и в пространстве

Определение.Вектор аявляется линейной комбинацией векторов а₁,а₂, а₃, . . . ,а_n если он представляется как сумма этих векторов с некоторыми коэффициентами х_i 0

а = х₁а₁ + х₂а₂ + . . . + х_nа_n.

Определение. Если любой из имеющихся векторов а₁, а₂, а₃, . . . ,а_nможно представить как линейную комбинацию остальных векторов, то такие вектора называются линейно зависимыми. Условие линейной зависимости n векторов: . В противном случае векторы линейно независимы.

Исследование линейной зависимости векторов

1. Два коллинеарных вектора смещаются на одну прямую и всегда линейно зависимы, т.к. условие коллинеарности а = kb есть условие линейной зависимости a – kb = 0.

2. Два неколлинеарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно независимы (иначе, они были бы коллинеарны).

3. Три компланарных вектора смещаются на одну плоскость и всегда линейно зависимы.

Теорема.Любой вектор m на плоскости можно представить в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов а и b:m = xa + yb.

Доказательство. Совместим начала векторов m, a, b, проведем линии через а и b и построим на них параллелограмм с диагональю m. Тогда m = , но = ха, = уb и m = ха + уb. Отсюда условие линейной зависимости m – xa – yb = 0.

4. Три некомпланарных вектора в пространстве всегда линейно независимы (иначе, они были бы компланарными).

5. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Теорема.Любой вектор m в пространстве можно представить в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов а, b, с:

m = xa + yb + zc.

Доказательствоаналогично предыдущему для параллелепипеда построенного на векторах а, b, с.

Факт почти всеобщей линейной зависимости векторов позволяет ввести удобный, алгебраический способ для определения ориентации любых векторов на плоскости и в пространстве. Достаточно ввести набор нескольких базовых векторов, а все остальные вектора сравнивать с ними и представлять в виде их линейной комбинации.

Определение.Базисом на плоскости являются два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке, а базисом в пространстве – три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.

Пусть e₁, e₂, e₃ – базис в пространстве, тогда m = k₁e₁ + k₂e₂ + k₃e₃.

Каждому m соответствует свой набор коэффициентов.

Определение. Координатами вектора в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса m = {k₁, k₂, k₃}.

Запись линейных операций над векторами через координаты

Сложение двух векторов a = {x₁, y₁, z₁}, b = {x₂, y₂, z₂} означает сложение их координат

a + b = (x₁e₁ + y₁e₂ + z₁e₃) + (x₂e₁ + y₂e₂ + z₂e₃) =

= (x₁ + x₂)e₁ + (y₁ + y₂)e₂ + (z₁ + z₂)e₃ = {x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂}.

Сложить параллельные векторы значит сложить их длины.

Умножение вектора на число k приводит к увеличению его координат в k раз

ka = k(xe₁ + ye₂ + ze₃) = {kx, ky, kz}.