Краткие теоретические сведения

Линейные действия над векторами

Определение.Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, характеризующийся длиной и направлением.

Вектор обозначается аили , где А – начало, В – конец вектора; длина вектора (модуль) – |а| или ||.

Определение.Коллинеарными называются векторы, расположенные на параллельных прямых, а компланарными – векторы, расположенные в параллельных плоскостях.

Определение. Векторы равны если они: 1) коллинеарны; 2) одинаково направлены; 3) имеют равные модули.

Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая начало в любую точку. Такие векторы называются свободными.

Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число.

Сложение векторов

Два способа сложения векторов

а) правило треугольника – конец одного совмещается с началом другого;

б) правило параллелограмма – совмещение начал обоих векторов. Операция сложения удовлетворяет переместительному закону а + в = в + аи сочетательному закону(а + в) + с = а + (в + с).

Правило многоугольника + .

Вычитание векторов

Разностью векторов а и в (а – в) называется сумма вектора а и вектора (–в), противоположного в: а – в = а + (–в).Если а и в отложены из одной точки О, работает правило: .

Умножение вектора на число

Произведением вектора а на число k (ka) называется вектор в такой, что:

1) |в| = k|a|;

2) в коллинеарен аи направлен в туже сторону при k > 0 в противоположную сторону при k < 0. Данная операция имеет сочетательное свойство: (kl)a = k(la) и распределительное свойство: k(a + b) = ka + kb;
(k + l)a = ka + la.

Условие коллинеарнности. Для того чтобы вектор абыл коллинеаренвекторувнеобходимо и достаточно, чтобы существовало число k, удовлетворяющее условию: а = kb.

Множитель k производит выравнивание длин двух параллельных векторов.