При изучении школьных курсов физики и математики встречаются с различными трактовками понятия вектора, например такими:
вектор как направленный отрезок;
вектор как класс эквивалентных направленных отрезков;
вектор как параллельный перенос [2; 14].
Во всех этих подходах уделяется внимание лишь геометрическому подходу к векторному исчислению, рассматриваются действия над "геометрическими" векторами, что приводит к не правильному пониманию существа понятия вектора.
Рассматривается возможность формирования общего понятия вектора с тем, чтобы содержание этого понятия включало в явном виде те физические и математические его интерпретации, с которыми придется иметь дело при дальнейшем образовании.
Для формирования такого общего представления мы использовали понятие вектора как элемента векторного пространства. Понятие векторного пространства является одним из фундаментальных понятий современных математики и физики. Например, трехмерное векторное пространство является объектом изучения аналитической геометрии, векторное пространство произвольной размерности изучается в линейной алгебре. Понятие бесконечномерного векторного пространства играет фундаментальную роль в современном анализе, а конечномерные векторные пространства широко используются в теории функций многих переменных.
Векторный аппарат широко используется в физике. Он применяется, в классической и релятивистской механике, теории поля. Понятие бесконечномерного векторного пространства играет фундаментальную роль в квантовой механике. Вводя неевклидову метрику, то есть существование таких векторов, квадрат которых меньше нуля, приходим к понятию псевдоевклидова пространства Минковского, которое применяется в специальной теории относительности Эйнштейна. Если рассматривать ненулевой вектор, квадрат которого равен нулю, то придём к понятию полуевклидова пространства, которое связано с классической механикой Ньютона [123; 131].
Таким образом, понятие векторного пространства широко применяется как в математике, так и в физике. Причем в приложениях векторного аппарата в различных областях науки используются различные интерпретации векторного пространства.
Целесообразно обобщить знания о различных примерах векторов, которые использовались в физике.
Известно, что в физике рассматриваются различные виды векторов:
Свободные - такие векторы, которые можно переносить в любую точку пространства параллельно самим себе. Примерами таких векторов являются; вектор скорости поступательного движения тела, вектор ускорения, вектор момента силы, вектор магнитной индукции постоянного магнитного поля.
Скользящие – такие векторы, которые можно переносить только по линии их действия. Их примерами являются: вектор силы, приложенной к абсолютно твёрдому телу, вектор углового ускорения.
Связанные - такие векторы, которые связаны с определённой точкой своего приложения. Например: вектор мгновенной скорости точки, вектор напряженности неоднородных электрических и магнитных полей.
Актуализируя знания учащихся о векторах скорости поступательного движения, ускорения, мгновенной скорости, силы, приложенной к абсолютно твердому телу, выделяем их общие свойства. В данном случае нас будут интересовать свойства сложения этих векторов и умножения на число. Особое внимание следует уделить свойствам сложения векторов: переместительному; сочетательному, существованию нулевого и противоположного вектора; и умножения вектора на число: сочетательному, двум распределительным, умножению на единицу.
В процессе решения задач замечают, что все известные векторы из курса физики обладают одинаковыми свойствами сложения и умножения на число. Целесообразно объединить выделенные свойства в таблицу. Рассмотрим на примере сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу. и . Для определения равнодействующей силы
и 
. Для определения равнодействующей силы 
= k• 
: