Векторная алгебра

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Пример 1. Даны векторы . Определить .

Решение.

Обозначим угол между векторами и через , тогда скалярное произведение векторов выражается формулой:

.

С учетом того, что

находим

Ответ:

Пример 2.

Найти угол между векторами и , где - орты, образующие между собой угол

Решение.

Найдем скалярное произведение векторов и , используя его свойства:

.

Определим длины векторов и , используя свойство скалярного произведения

.

.

Тогда из определения скалярного произведения, получаем

.

Откуда

.

Ответ: .

Пример 3.

Даны векторы , . При каком значении эти векторы перпендикулярны?

Решение.

Найдем скалярное произведение этих векторов через их координаты:

.

Так как , то . Отсюда, .

Ответ: .

Пример 4.

Показать, что векторы

образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение.

Проверим, что равенство

выполняется только при , т.е. система векторов образует базис.

Распишем данное равенство по координатам векторов

Получаем систему линейных уравнений относительно

Решаем полученную систему методом Гаусса

Отсюда следует . Следовательно, векторы образуют базис.

Разложим вектор по базису :

.

Распишем полученное равенство по координатам

Получим систему линейных уравнений относительно , предварительно разделив последнее уравнение на 2:

Решаем систему методом Гаусса

.

Из последней системы следует: .

Следовательно, .

Ответ: .

Пример 5. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

; .

Решение.

1. Составим матрицу перехода от базиса к базису , подставив в первый столбец матрицы координаты , во второй столбец – координаты , в третий столбец – координаты :

.

2. Найдем обратную матрицу .

, т.е. матрица невырожденная и обратная матрица существует. Далее определяем алгебраические дополнения элементов матрицы :

; ; ;

; ; ;

; ; .

.

3. Найдем координаты вектора в новом базисе

, для чего вычислим произведение матриц

, где - матрица – столбец координат вектора в старом базисе .

.

3. Запишем вектор в новом базисе :

.

Ответ: ; ; .

Пример 6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах b , если , .

Решение.

Площадь параллелограмма определяется по формуле:

.

Упростим векторное произведение векторов и , используя свойства векторного произведения,

,

т.к. , , .

Тогда

.

Ответ: .

Пример 7.

Дан треугольник с вершинами , , . Вычислить его площадь и высоту .

Решение.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдем координаты векторов и .

, .

Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле

.

Следовательно,

.

С другой стороны

.

Находим .

Следовательно,

.

Ответ: .

Пример 8.

Показать, что векторы , , компланарны.

Решение.

Найдем смешанное произведение векторов , , .

.

Так как , то данные вектора компланарны.

Ответ: , , - компланарны.

Пример 9.

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках , , , .

Решение.

Найдем векторы , , , совпадающие с ребрами тетраэдра, выходящими из точки :

, , .

Находим смешанное произведение этих векторов

.

Следовательно,

.

Ответ: (куб. ед.)