Подпространства и линейные оболочки

Пусть – линейное пространство, множество называется подпространством пространства , если выполнены условия:

1)

2)

Примеры:

1. – множество всех векторов из , расположенных в фиксированной плоскости, проходящей через начало координат.

2. – множество решений однородной системы линейных уравнений:

где – фиксированная матрица размера . Здесь – подпространство пространства , .

3. Зафиксируем два вектора и некоторого пространства (предположим, что , , не пропорционален ). Множество является подпространством в и состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов и . Отметим, что если и , то и для , т.е является линейной комбинацией векторов и .

Отметим, что так как и выбраны непропорциональными, то .

Линейной оболочкой системы векторов линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество всех векторов вида:

,

где .

Обозначения:

Говорят, что векторы порождают линейную оболочку , а сама оболочка натянута на векторы .

Справедливы свойства:

1. – подпространство пространства .

2. – наименьшее подпространство, содержащее векторы .

3. Если какой-то элемент из порождающей системы векторов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы не изменив линейной оболочки.

Отметим, что всякое подпространство линейного пространства само является линейным пространством, и для него имеют смысл такие понятия, как размерность и базис.

Утверждение. Пусть среди порождающей системы векторов имеется ( ) – линейно независимых векторов , а остальные векторы представляют собой линейные комбинации первых - векторов, тогда

а) =

б) ( )=

в) – базис линейной оболочки .