Размерность пространства и базисы

Пусть – линейное пространство, говорят, что имеет размерность (обозначение: ), если в существует линейно независимая система из векторов, а всякая система из вектора пространства – линейно зависима.

Если пространство имеет размерность , то всякая линейно независимая система из векторов этого пространства называется базисом пространства .

Пример 1. . Любой ненулевой вектор пространства образует базис.

.

Геометрические векторы и называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Пример 2. . Базис в пространстве образует произвольная система, состоящая из двух неколлинеарных векторов.

и - неколлинеарные векторы,

,

Векторы пространства называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Пример 3. . Базис в пространстве образует произвольная система из 3-х некомпланарных векторов.

- некомпланарные векторы.

.

Замечание. В пространстве различают правые и левые тройки некомпланарных векторов (соответственно правые и левые базисы). Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Пример 4. . Одним из базисов пространства является стандартный базис:

= , = , … , = .

Линейная независимость этой системы следует из равенства:

= .

Кроме того, для любого вектора пространства имеем:

+ .

Утверждение. Для того чтобы векторы

= , = , …, =

составляли базис пространства , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырождена (векторы являются векторами- столбцами матрицы ).

Пример 5. . Одним из базисов пространства является система матриц: ( , ). У матрицы элемент, расположенный в - ой строке и - ом столбце равен 1 , а остальные элементы - нули.

Если – произвольная матрица пространства ,то

Пример 6. . Одним из базисов пространства является система полиномов:

.

Произвольный полином имеет вид:

,

т.е.

,

где

- коэффициенты полинома .